Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\ln (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\ln (x)})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = x$ et $g = \ln (x)$ .

$\frac{d}{d y} [x] (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \ln (y)$ et $g (y) = x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Associez $x^{\ln (x)}$ et $\frac{1}{x}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x] \ln (x)$

Étape 3.4.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{\ln (x)}}{x}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun à $x^{\ln (x)}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $\ln (x) x^{\ln (x)}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x) - 1}}{1} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4.3.2.5

Divisez $\ln (x) x^{\ln (x) - 1}$ par $1$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

Étape 3.6

Réorganisez les facteurs de $x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})$ .

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

Étape 3.7

Additionnez $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ et $\ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Remettez dans l’ordre $\ln (x)$ et $x^{\ln (x) - 1}$ .

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Étape 3.7.2

Additionnez $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ et $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ .

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ .

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ par $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ par $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ .

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{\ln (x) - 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$ .

$x' = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$