Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

Étape 2

Développez le côté droit.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.3

Développez $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

Étape 2.5

Associez $\frac{x}{2}$ et $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x \ln (x)}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.5.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 3.2.5.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

Étape 3.2.6

Simplifiez

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Étape 3.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

Étape 3.2.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

Étape 3.2.6.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (x)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Étape 5.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (x)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et ${\sqrt{x}}^{x}$ .

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ .

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$