Mathématiques de base Exemples

$\frac{16 a^{2} + 40 a + 25}{3 a^{2} - 10 a - 8} \div \frac{4 a + 5}{a^{2} - 8 a + 16}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{16 a^{2} + 40 a + 25}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $16 a^{2}$ comme ${(4 a)}^{2}$ .

$\frac{{(4 a)}^{2} + 40 a + 25}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 2.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{{(4 a)}^{2} + 40 a + 5^{2}}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$40 a = 2 \cdot (4 a) \cdot 5$

Étape 2.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(4 a)}^{2} + 2 \cdot (4 a) \cdot 5 + 5^{2}}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 4 a$ et $b = 5$ .

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} - 10 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 a$ .

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} - 10 (a) - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $2$ plus $- 12$

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} + (2 - 12) a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{3 a^{2} + 2 a - 12 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{(3 a^{2} + 2 a) - 12 a - 8} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{a (3 a + 2) - 4 (3 a + 2)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 a + 2$ .

$\frac{{(4 a + 5)}^{2}}{(3 a + 2) (a - 4)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $4 a + 5$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $4 a + 5$ à partir de ${(4 a + 5)}^{2}$ .

$\frac{(4 a + 5) (4 a + 5)}{(3 a + 2) (a - 4)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 a + 5) (4 a + 5)}{(3 a + 2) (a - 4)} \cdot \frac{a^{2} - 8 a + 16}{4 a + 5}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 a + 5}{(3 a + 2) (a - 4)} (a^{2} - 8 a + 16)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{4 a + 5}{(3 a + 2) (a - 4)}$ par $a^{2} - 8 a + 16$ .

$\frac{(4 a + 5) (a^{2} - 8 a + 16)}{(3 a + 2) (a - 4)}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{(4 a + 5) (a^{2} - 8 a + 4^{2})}{(3 a + 2) (a - 4)}$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 a = 2 \cdot a \cdot 4$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(4 a + 5) (a^{2} - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^{2})}{(3 a + 2) (a - 4)}$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 4$ .

$\frac{(4 a + 5) {(a - 4)}^{2}}{(3 a + 2) (a - 4)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à ${(a - 4)}^{2}$ et $a - 4$ .

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Étape 6.1

Factorisez $a - 4$ à partir de $(4 a + 5) {(a - 4)}^{2}$ .

$\frac{(a - 4) ((4 a + 5) (a - 4))}{(3 a + 2) (a - 4)}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $a - 4$ à partir de $(3 a + 2) (a - 4)$ .

$\frac{(a - 4) ((4 a + 5) (a - 4))}{(a - 4) (3 a + 2)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 4) ((4 a + 5) (a - 4))}{(a - 4) (3 a + 2)}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(4 a + 5) (a - 4)}{3 a + 2}$