Mathématiques de base Exemples

$\frac{y - 1}{y^{2} + 4 y + 3} + \frac{9}{y^{2} + y}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y^{2} + 4 y + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y^{2} + y}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} + y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y}$

Étape 1.2.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y^{1}}$

Étape 1.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y \cdot y + y \cdot 1}$

Étape 1.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot 1$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{9}{y (y + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} \cdot \frac{y}{y} + \frac{9}{y (y + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{9}{y (y + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)} \cdot \frac{y}{y} + \frac{9}{y (y + 1)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y + 1) (y + 3) y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{y - 1}{(y + 1) (y + 3)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(y - 1) y}{(y + 1) (y + 3) y} + \frac{9}{y (y + 1)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{9}{y (y + 1)}$ par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{(y - 1) y}{(y + 1) (y + 3) y} + \frac{9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y + 1) (y + 3) y$ .

$\frac{(y - 1) y}{y (y + 1) (y + 3)} + \frac{9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(y - 1) y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y - 1 y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} - 1 y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Étape 6.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{y^{2} - y + 9 (y + 3)}{y (y + 1) (y + 3)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - y + 9 y + 9 \cdot 3}{y (y + 1) (y + 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{y^{2} - y + 9 y + 27}{y (y + 1) (y + 3)}$

Étape 6.6

Additionnez $- y$ et $9 y$ .

$\frac{y^{2} + 8 y + 27}{y (y + 1) (y + 3)}$