Mathématiques de base Exemples

$\frac{u - 1}{u + 1} - \frac{u^{2} - u - 6}{u^{2} + 4 u + 3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $u^{2} - u - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{u - 1}{u + 1} - \frac{(u - 3) (u + 2)}{u^{2} + 4 u + 3}$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} + 4 u + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{u - 1}{u + 1} - \frac{(u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{u - 1}{u + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{u + 3}{u + 3}$ .

$\frac{u - 1}{u + 1} \cdot \frac{u + 3}{u + 3} - \frac{(u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{u - 1}{u + 1}$ par $\frac{u + 3}{u + 3}$ .

$\frac{(u - 1) (u + 3)}{(u + 1) (u + 3)} - \frac{(u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(u - 1) (u + 3) - (u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(u - 1) (u + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{u (u + 3) - 1 (u + 3) - (u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{u \cdot u + u \cdot 3 - 1 (u + 3) - (u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{u \cdot u + u \cdot 3 - 1 u - 1 \cdot 3 - (u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$\frac{u^{2} + u \cdot 3 - 1 u - 1 \cdot 3 - (u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\frac{u^{2} + 3 \cdot u - 1 u - 1 \cdot 3 - (u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $- 1 u$ comme $- u$ .

$\frac{u^{2} + 3 u - u - 1 \cdot 3 - (u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{u^{2} + 3 u - u - 3 - (u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $u$ de $3 u$ .

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 - (u - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 + (- u - - 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 + (- u + 3) (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.5

Développez $(- u + 3) (u + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 - u (u + 2) + 3 (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 - u \cdot u - u \cdot 2 + 3 (u + 2)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 - u \cdot u - u \cdot 2 + 3 u + 3 \cdot 2}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.1.1

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.1.1.1

Déplacez $u$ .

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 - (u \cdot u) - u \cdot 2 + 3 u + 3 \cdot 2}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.6.1.1.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 - u^{2} - u \cdot 2 + 3 u + 3 \cdot 2}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 - u^{2} - 2 u + 3 u + 3 \cdot 2}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.6.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 - u^{2} - 2 u + 3 u + 6}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.6.2

Additionnez $- 2 u$ et $3 u$ .

$\frac{u^{2} + 2 u - 3 - u^{2} + u + 6}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.7

Soustrayez $u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\frac{2 u - 3 + 0 + u + 6}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.8

Additionnez $2 u$ et $0$ .

$\frac{2 u - 3 + u + 6}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.9

Additionnez $2 u$ et $u$ .

$\frac{3 u - 3 + 6}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.10

Additionnez $- 3$ et $6$ .

$\frac{3 u + 3}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.11

Factorisez $3$ à partir de $3 u + 3$ .

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Étape 4.11.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u$ .

$\frac{3 (u) + 3}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.11.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (u) + 3 (1)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 4.11.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (u) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (u + 1)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $u + 1$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (u + 1)}{(u + 1) (u + 3)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{u + 3}$