Mathématiques de base Exemples

$\frac{a^{2} - 6 a + 9}{a^{2} - a - 12} \div \frac{a^{2} - a - 6}{a^{2} + 4 a + 4}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{a^{2} - 6 a + 9}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 6 a + 3^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 3$ .

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Étape 3

Factorisez $a^{2} - a - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 2^{2}}{a^{2} - a - 6}$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2}}{a^{2} - a - 6}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 2$ .

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{{(a + 2)}^{2}}{a^{2} - a - 6}$

Étape 5

Factorisez $a^{2} - a - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{{(a + 2)}^{2}}{(a - 3) (a + 2)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{{(a - 3)}^{2} {(a + 2)}^{2}}{(a - 4) (a + 3) ((a - 3) (a + 2))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à ${(a - 3)}^{2}$ et $a - 3$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $a - 3$ à partir de ${(a - 3)}^{2} {(a + 2)}^{2}$ .

$\frac{(a - 3) ((a - 3) {(a + 2)}^{2})}{(a - 4) (a + 3) ((a - 3) (a + 2))}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $a - 3$ à partir de $(a - 4) (a + 3) ((a - 3) (a + 2))$ .

$\frac{(a - 3) ((a - 3) {(a + 2)}^{2})}{(a - 3) ((a - 4) (a + 3) (a + 2))}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 3) ((a - 3) {(a + 2)}^{2})}{(a - 3) ((a - 4) (a + 3) (a + 2))}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 3) {(a + 2)}^{2}}{(a - 4) (a + 3) (a + 2)}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à ${(a + 2)}^{2}$ et $a + 2$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $a + 2$ à partir de $(a - 3) {(a + 2)}^{2}$ .

$\frac{(a + 2) ((a - 3) (a + 2))}{(a - 4) (a + 3) (a + 2)}$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $a + 2$ à partir de $(a - 4) (a + 3) (a + 2)$ .

$\frac{(a + 2) ((a - 3) (a + 2))}{(a + 2) ((a - 4) (a + 3))}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 2) ((a - 3) (a + 2))}{(a + 2) ((a - 4) (a + 3))}$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a - 4) (a + 3)}$