Mathématiques de base Exemples

$\frac{a^{2} - 64}{4 a - 20} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 8^{2}}{4 a - 20} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 8$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 a - 20} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Étape 2

Factorisez $4$ à partir de $4 a - 20$ .

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Étape 2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a) - 20} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Étape 2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 a + 4 \cdot - 5} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Étape 2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 a + 4 \cdot - 5$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 8^{2}}{a^{2} + 3 a - 40}$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 a = 2 \cdot a \cdot 8$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 8 + 8^{2}}{a^{2} + 3 a - 40}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 8$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5)} \cdot \frac{{(a + 8)}^{2}}{a^{2} + 3 a - 40}$

Étape 4

Factorisez $a^{2} + 3 a - 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 40$ et dont la somme est $3$ .

$- 5, 8$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5)} \cdot \frac{{(a + 8)}^{2}}{(a - 5) (a + 8)}$

Étape 5

Associez.

$\frac{(a + 8) (a - 8) {(a + 8)}^{2}}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Étape 6

Multipliez $a + 8$ par ${(a + 8)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez ${(a + 8)}^{2}$ .

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Étape 6.2

Multipliez ${(a + 8)}^{2}$ par $a + 8$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $a + 8$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(a + 8)}^{2} {(a + 8)}^{1} (a - 8)}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(a + 8)}^{2 + 1} (a - 8)}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Étape 6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{{(a + 8)}^{3} (a - 8)}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à ${(a + 8)}^{3}$ et $a + 8$ .

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Étape 7.1

Factorisez $a + 8$ à partir de ${(a + 8)}^{3} (a - 8)$ .

$\frac{(a + 8) ({(a + 8)}^{2} (a - 8))}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $a + 8$ à partir de $4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))$ .

$\frac{(a + 8) ({(a + 8)}^{2} (a - 8))}{(a + 8) (4 (a - 5) (a - 5))}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 8) ({(a + 8)}^{2} (a - 8))}{(a + 8) (4 (a - 5) (a - 5))}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a - 8)}{4 (a - 5) (a - 5)}$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Élevez $a - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a - 8)}{4 ({(a - 5)}^{1} (a - 5))}$

Étape 8.2

Élevez $a - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a - 8)}{4 ({(a - 5)}^{1} {(a - 5)}^{1})}$

Étape 8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a - 8)}{4 {(a - 5)}^{1 + 1}}$

Étape 8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a - 8)}{4 {(a - 5)}^{2}}$