Mathématiques de base Exemples

$\frac{8 v w}{v^{2} - 4 w^{2}} + \frac{v - 2 w}{v + 2 w}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4 w^{2}$ comme ${(2 w)}^{2}$ .

$\frac{8 v w}{v^{2} - {(2 w)}^{2}} + \frac{v - 2 w}{v + 2 w}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = v$ et $b = 2 w$ .

$\frac{8 v w}{(v + 2 w) (v - (2 w))} + \frac{v - 2 w}{v + 2 w}$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{8 v w}{(v + 2 w) (v - 2 w)} + \frac{v - 2 w}{v + 2 w}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{v - 2 w}{v + 2 w}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{v - 2 w}{v - 2 w}$ .

$\frac{8 v w}{(v + 2 w) (v - 2 w)} + \frac{v - 2 w}{v + 2 w} \cdot \frac{v - 2 w}{v - 2 w}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{v - 2 w}{v + 2 w}$ par $\frac{v - 2 w}{v - 2 w}$ .

$\frac{8 v w}{(v + 2 w) (v - 2 w)} + \frac{(v - 2 w) (v - 2 w)}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 v w + (v - 2 w) (v - 2 w)}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(v - 2 w) (v - 2 w)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 v w + v (v - 2 w) - 2 w (v - 2 w)}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 v w + v \cdot v + v (- 2 w) - 2 w (v - 2 w)}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 v w + v \cdot v + v (- 2 w) - 2 w v - 2 w (- 2 w)}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $v$ par $v$ .

$\frac{8 v w + v^{2} + v (- 2 w) - 2 w v - 2 w (- 2 w)}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 v w + v^{2} - 2 v w - 2 w v - 2 w (- 2 w)}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 v w + v^{2} - 2 v w - 2 w v - 2 \cdot - 2 w \cdot w}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.4.1

Déplacez $w$ .

$\frac{8 v w + v^{2} - 2 v w - 2 w v - 2 \cdot - 2 (w \cdot w)}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.2.1.4.2

Multipliez $w$ par $w$ .

$\frac{8 v w + v^{2} - 2 v w - 2 w v - 2 \cdot - 2 w^{2}}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{8 v w + v^{2} - 2 v w - 2 w v + 4 w^{2}}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 w v$ de $- 2 v w$ .

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $w$ .

$\frac{8 v w + v^{2} - 2 v w - 2 v w + 4 w^{2}}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $2 v w$ de $- 2 v w$ .

$\frac{8 v w + v^{2} - 4 v w + 4 w^{2}}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.3

Soustrayez $4 v w$ de $8 v w$ .

$\frac{v^{2} + 4 v w + 4 w^{2}}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.4.1

Réécrivez $4 w^{2}$ comme ${(2 w)}^{2}$ .

$\frac{v^{2} + 4 v w + {(2 w)}^{2}}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 v w = 2 \cdot v \cdot (2 w)$

Étape 4.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{v^{2} + 2 \cdot v \cdot (2 w) + {(2 w)}^{2}}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 4.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = v$ et $b = 2 w$ .

$\frac{{(v + 2 w)}^{2}}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à ${(v + 2 w)}^{2}$ et $v + 2 w$ .

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Étape 5.1

Factorisez $v + 2 w$ à partir de ${(v + 2 w)}^{2}$ .

$\frac{(v + 2 w) (v + 2 w)}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(v + 2 w) (v + 2 w)}{(v + 2 w) (v - 2 w)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{v + 2 w}{v - 2 w}$