Mathématiques de base Exemples

$\frac{\frac{1}{a + 1} + 1}{\frac{3}{a - 1} + 1}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(a + 1) (a - 1)$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{a + 1} + 1}{\frac{3}{a - 1} + 1}$ par $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{\frac{1}{a + 1} + 1}{\frac{3}{a - 1} + 1}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(a + 1) (a - 1) (\frac{1}{a + 1} + 1)}{(a + 1) (a - 1) (\frac{3}{a - 1} + 1)}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \frac{1}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}{(a + 1) (a - 1) \frac{3}{a - 1} + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $a + 1$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \frac{1}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}{(a + 1) (a - 1) \frac{3}{a - 1} + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 1 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}{(a + 1) (a - 1) \frac{3}{a - 1} + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $a - 1$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $a - 1$ à partir de $(a + 1) (a - 1)$ .

$\frac{a - 1 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}{(a - 1) (a + 1) \frac{3}{a - 1} + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a - 1 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}{(a - 1) (a + 1) \frac{3}{a - 1} + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 1 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(a + 1) (a - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a - 1 + (a (a - 1) + 1 (a - 1)) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a - 1 + (a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (a - 1)) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a - 1 + (a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a - 1 + (a^{2} + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $a$ .

$\frac{a - 1 + (a^{2} - 1 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 1) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $- 1 a$ comme $- a$ .

$\frac{a - 1 + (a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot - 1) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a - 1 + (a^{2} - a + a + 1 \cdot - 1) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{a - 1 + (a^{2} - a + a - 1) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.2.2

Additionnez $- a$ et $a$ .

$\frac{a - 1 + (a^{2} + 0 - 1) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Additionnez $a^{2}$ et $0$ .

$\frac{a - 1 + (a^{2} - 1) \cdot 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.3

Multipliez $a^{2} - 1$ par $1$ .

$\frac{a - 1 + a^{2} - 1}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.4

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{a + a^{2} - 2}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a^{2} + a - 2}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 4.6

Factorisez $a^{2} + a - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 4.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 1) (a + 2)}{(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $a + 1$ à partir de $(a + 1) \cdot 3 + (a + 1) (a - 1) \cdot 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $a + 1$ à partir de $(a + 1) \cdot 3$ .

$\frac{(a - 1) (a + 2)}{(a + 1) (3) + (a + 1) (a - 1) \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Factorisez $a + 1$ à partir de $(a + 1) (a - 1) \cdot 1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 2)}{(a + 1) (3) + (a + 1) ((a - 1) \cdot 1)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $a + 1$ à partir de $(a + 1) (3) + (a + 1) ((a - 1) \cdot 1)$ .

$\frac{(a - 1) (a + 2)}{(a + 1) (3 + (a - 1) \cdot 1)}$

Étape 5.2

Multipliez $a - 1$ par $1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 2)}{(a + 1) (3 + a - 1)}$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{(a - 1) (a + 2)}{(a + 1) (a + 2)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $a + 2$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 1) (a + 2)}{(a + 1) (a + 2)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 1}{a + 1}$