Mathématiques de base Exemples

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) \cdot (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) \cdot (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) \cdot (b - c)}$

Étape 1

Multipliez $a - b$ par $b - c$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b - c}{b - c}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} \cdot \frac{b - c}{b - c} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(b - c) (c - a) (a - b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)}$ par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(b - c) (c - a) (a - b)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} \cdot \frac{b - c}{b - c} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)}$ par $\frac{b - c}{b - c}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(b - c) (c - a) (a - b)} + \frac{{(b - c)}^{2} (b - c)}{(c - a) (a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(b - c) (c - a) (a - b)$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2} (b - c)}{(c - a) (a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(c - a) (a - b) (b - c)$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b) + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez ${(a - b)}^{2}$ par $a - b$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.1

Multipliez ${(a - b)}^{2}$ par $a - b$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Élevez $a - b$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a - b)}^{1} + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(a - b)}^{2 + 1} + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.2

Multipliez ${(b - c)}^{2}$ par $b - c$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1

Multipliez ${(b - c)}^{2}$ par $b - c$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Élevez $b - c$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{2} {(b - c)}^{1}}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{2 + 1}}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{3}}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = a - b$ et $b = b - c$ .

$\frac{(a - b + b - c) ({(a - b)}^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Additionnez $- b$ et $b$ .

$\frac{(a + 0 - c) ({(a - b)}^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $a$ et $0$ .

$\frac{(a - c) ({(a - b)}^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.3

Réécrivez ${(a - b)}^{2}$ comme $(a - b) (a - b)$ .

$\frac{(a - c) ((a - b) (a - b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.4

Développez $(a - b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - c) (a (a - b) - b (a - b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - c) (a \cdot a + a (- b) - b (a - b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - c) (a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.4.5.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - b (- b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.5.1.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.4.5.1.4.1

Déplacez $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.5.1.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.5.1.6

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a + b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.5.2

Soustrayez $b a$ de $- a b$ .

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Étape 6.1.4.5.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.5.2.2

Soustrayez $a b$ de $- a b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + (- a - - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.7

Multipliez $- - b$ .

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Étape 6.1.4.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + (- a + 1 b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.7.2

Multipliez $b$ par $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + (- a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.8

Développez $(- a + b) (b - c)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.4.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a (b - c) + b (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b - a (- c) + b (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b - a (- c) + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.4.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b - 1 \cdot - 1 a c + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.9.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + 1 a c + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.9.3

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.9.4

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.9.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.10

Réécrivez ${(b - c)}^{2}$ comme $(b - c) (b - c)$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + (b - c) (b - c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.11

Développez $(b - c) (b - c)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.4.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b (b - c) - c (b - c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b \cdot b + b (- c) - c (b - c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b \cdot b + b (- c) - c b - c (- c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.4.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.4.12.1.1

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} + b (- c) - c b - c (- c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.12.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - c (- c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.12.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 c \cdot c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.12.1.4

Multipliez $c$ par $c$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.4.12.1.4.1

Déplacez $c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 (c \cdot c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.12.1.4.2

Multipliez $c$ par $c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.12.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b + 1 c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.12.1.6

Multipliez $c^{2}$ par $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.12.2

Soustrayez $c b$ de $- b c$ .

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Étape 6.1.4.12.2.1

Déplacez $c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - 1 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.12.2.2

Soustrayez $b c$ de $- b c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.13

Soustrayez $a b$ de $- 2 a b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + b^{2} - 3 a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.14

Additionnez $b^{2}$ et $b^{2}$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + 2 b^{2} - 3 a b + a c - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.15

Additionnez $2 b^{2}$ et $b^{2}$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - b c - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.1.4.16

Soustrayez $2 b c$ de $- b c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $a - c$ et $c - a$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$\frac{(- 1 (- a) - c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- c$ .

$\frac{(- 1 (- a) - (c)) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- a) - (c)$ .

$\frac{- 1 (- a + c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- a + c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (- a + c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- a + c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (- a + c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.2.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2}}{(a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2}) + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- a^{2} - (3 b^{2}) - (- 3 a b) - (a c) - (- 3 b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} - (- 3 a b) - (a c) - (- 3 b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 (a b) - (a c) - (- 3 b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 (a b) - a c + 3 (b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.4

Réécrivez ${(c - a)}^{2}$ comme $(c - a) (c - a)$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + (c - a) (c - a)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.5

Développez $(c - a) (c - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c (c - a) - a (c - a)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c \cdot c + c (- a) - a (c - a)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c \cdot c + c (- a) - a c - a (- a)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.6.1.1

Multipliez $c$ par $c$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} + c (- a) - a c - a (- a)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - a (- a)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - 1 \cdot - 1 a \cdot a}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.6.1.4

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.6.1.4.1

Déplacez $a$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - 1 \cdot - 1 (a \cdot a)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.6.1.4.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - 1 \cdot - 1 a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c + 1 a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.6.1.6

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.6.2

Soustrayez $a c$ de $- c a$ .

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Étape 8.6.2.1

Déplacez $c$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - a c - a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 8.6.2.2

Soustrayez $a c$ de $- a c$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - 2 a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Associez les termes opposés dans $- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - 2 a c + a^{2}$ .

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Étape 9.1.1

Additionnez $- c^{2}$ et $c^{2}$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c + 0 - 2 a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.1.2

Additionnez $- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c$ et $0$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.1.3

Additionnez $- a^{2}$ et $a^{2}$ .

$\frac{- 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c + 0}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.1.4

Additionnez $- 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c$ et $0$ .

$\frac{- 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.2

Soustrayez $2 a c$ de $- a c$ .

$\frac{- 3 b^{2} + 3 a b - 3 a c + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3 b^{2} + 3 a b - 3 a c + 3 b c$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 b^{2}$ .

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 a b - 3 a c + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 a b$ .

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 (a b) - 3 a c + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.3.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3 a c$ .

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 (a b) + 3 (- a c) + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.3.4

Factorisez $3$ à partir de $3 b c$ .

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 (a b) + 3 (- a c) + 3 (b c)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.3.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- b^{2}) + 3 (a b)$ .

$\frac{3 (- b^{2} + a b) + 3 (- a c) + 3 (b c)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.3.6

Factorisez $3$ à partir de $3 (- b^{2} + a b) + 3 (- a c)$ .

$\frac{3 (- b^{2} + a b - a c) + 3 (b c)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.3.7

Factorisez $3$ à partir de $3 (- b^{2} + a b - a c) + 3 (b c)$ .

$\frac{3 (- b^{2} + a b - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- b^{2}$ .

$\frac{3 (- (b^{2}) + a b - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.5

Factorisez $- 1$ à partir de $a b$ .

$\frac{3 (- (b^{2}) - (- a b) - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (b^{2}) - (- a b)$ .

$\frac{3 (- (b^{2} - a b) - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- a c$ .

$\frac{3 (- (b^{2} - a b) - (a c) + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (b^{2} - a b) - (a c)$ .

$\frac{3 (- (b^{2} - a b + a c) + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.9

Factorisez $- 1$ à partir de $b c$ .

$\frac{3 (- (b^{2} - a b + a c) - (- b c))}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (b^{2} - a b + a c) - (- b c)$ .

$\frac{3 (- (b^{2} - a b + a c - b c))}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.11.1

Réécrivez $- (b^{2} - a b + a c - b c)$ comme $- 1 (b^{2} - a b + a c - b c)$ .

$\frac{3 (- 1 (b^{2} - a b + a c - b c))}{(a - b) (b - c)}$

Étape 9.11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (b^{2} - a b + a c - b c)}{(a - b) (b - c)}$