Mathématiques de base Exemples

$\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y^{2} {(1 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y^{2} \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $y^{2}$ .

$\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y^{2}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1.3

Pour écrire ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{2}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y^{2}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez $\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y^{2}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 1.5.1

Multipliez ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - y^{2}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - y^{2}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1.5.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}} - y^{2}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1.5.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{{(1 + y^{2})}^{1} - y^{2}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1.5.2

Simplifiez ${(1 + y^{2})}^{1}$ .

$\frac{\frac{1 + y^{2} - y^{2}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1.5.3

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{\frac{1 + 0}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 1.5.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + y^{2}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + y^{2}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + y^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + y^{2})}$

Étape 3.2

Multipliez ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Multipliez ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + y^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $1 + y^{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{1}}$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 3.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$