Mathématiques de base Exemples

${((a^{- 1} + b^{- 1}) (a^{- 1} - b^{- 1}))}^{- 1}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${((\frac{1}{a} + b^{- 1}) (a^{- 1} - b^{- 1}))}^{- 1}$

Étape 1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${((\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a^{- 1} - b^{- 1}))}^{- 1}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${((\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - b^{- 1}))}^{- 1}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${((\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 2

Développez $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{1}{a} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} (- \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} (- \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} (- \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b})$ .

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Étape 3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\frac{1}{a} (- \frac{1}{b})$ et $\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a}$ .

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} - \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 3.1.2

Additionnez $- \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$ et $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$ .

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + 0 + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 3.1.3

Additionnez $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$ et $0$ .

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{a}$ par $\frac{1}{a}$ .

${(\frac{1}{a \cdot a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

${(\frac{1}{a^{1} a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 3.2.1.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

${(\frac{1}{a^{1} a^{1}} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 3.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{1}{a^{1 + 1}} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 3.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{b})}^{- 1}$

Étape 3.2.3

Multipliez $- \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{b}$ .

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{b}$ par $\frac{1}{b}$ .

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b \cdot b})}^{- 1}$

Étape 3.2.3.2

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{1} b})}^{- 1}$

Étape 3.2.3.3

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{1} b^{1}})}^{- 1}$

Étape 3.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{1 + 1}})}^{- 1}$

Étape 3.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}})}^{- 1}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1^{2}}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}}$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{a^{2}}$ comme ${(\frac{1}{a})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1}{a})}^{2} - \frac{1}{b^{2}}}$

Étape 5.3

Réécrivez $\frac{1}{b^{2}}$ comme ${(\frac{1}{b})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1}{a})}^{2} - {(\frac{1}{b})}^{2}}$

Étape 5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{a}$ et $b = \frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Étape 5.5

Pour écrire $\frac{1}{a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Étape 5.6

Pour écrire $\frac{1}{b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} + \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Étape 5.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $a b$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.7.1

Multipliez $\frac{1}{a}$ par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{(\frac{b}{a b} + \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Étape 5.7.2

Multipliez $\frac{1}{b}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{1}{(\frac{b}{a b} + \frac{a}{b a}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Étape 5.7.3

Réorganisez les facteurs de $b a$ .

$\frac{1}{(\frac{b}{a b} + \frac{a}{a b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Étape 5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Étape 5.9

Pour écrire $\frac{1}{a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{1}{b})}$

Étape 5.10

Pour écrire $- \frac{1}{b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a})}$

Étape 5.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $a b$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.11.1

Multipliez $\frac{1}{a}$ par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a})}$

Étape 5.11.2

Multipliez $\frac{1}{b}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{a}{b a})}$

Étape 5.11.3

Réorganisez les facteurs de $b a$ .

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{a}{a b})}$

Étape 5.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} \cdot \frac{b - a}{a b}}$

Étape 6

Multipliez $\frac{b + a}{a b}$ par $\frac{b - a}{a b}$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a b (a b)}}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1} a b \cdot b}}$

Étape 7.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1} a^{1} b \cdot b}}$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1 + 1} b \cdot b}}$

Étape 7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b \cdot b}}$

Étape 7.5

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} (b^{1} b)}}$

Étape 7.6

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} (b^{1} b^{1})}}$

Étape 7.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b^{1 + 1}}}$

Étape 7.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b^{2}}}$

Étape 8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{a^{2} b^{2}}{(b + a) (b - a)}$

Étape 9

Multipliez $\frac{a^{2} b^{2}}{(b + a) (b - a)}$ par $1$ .

$\frac{a^{2} b^{2}}{(b + a) (b - a)}$