Mathématiques de base Exemples

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{z^{2} - 8 z + 12}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $z^{2} - 8 z + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 6, - 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{z - 1}{z - 2}$ par $\frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{(z - 2) ((z - 6) (z - 2))}$

Étape 1.2.2

Élevez $z - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1} (z - 2) (z - 6)}$

Étape 1.2.3

Élevez $z - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1} {(z - 2)}^{1} (z - 6)}$

Étape 1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1 + 1} (z - 6)}$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 1.3

Déplacez $6$ à gauche de $z - 1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{z + 3}{z - 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}}$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} \cdot \frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(z - 6) {(z - 2)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{z + 3}{z - 6}$ par $\frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}}$ .

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2}}{(z - 6) {(z - 2)}^{2}} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(z - 6) {(z - 2)}^{2}$ .

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2} + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez ${(z - 2)}^{2}$ comme $(z - 2) (z - 2)$ .

$\frac{(z + 3) ((z - 2) (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.2

Développez $(z - 2) (z - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(z + 3) (z (z - 2) - 2 (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(z + 3) (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(z + 3) (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $z$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 2 \cdot z - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 2 z - 2 z + 4) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $2 z$ de $- 2 z$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 4 z + 4) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.4

Développez $(z + 3) (z^{2} - 4 z + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{z \cdot z^{2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Multipliez $z$ par $z^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.1

Multipliez $z$ par $z^{2}$ .

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Étape 5.5.1.1.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{z^{1} z^{2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{z^{1 + 2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.5.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{z^{3} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{z^{3} - 4 z \cdot z + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.5.3

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.1

Déplacez $z$ .

$\frac{z^{3} - 4 (z \cdot z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.5.3.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.5.4

Déplacez $4$ à gauche de $z$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 \cdot z + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.5.5

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 z + 3 z^{2} - 12 z + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.5.6

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 z + 3 z^{2} - 12 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.6

Additionnez $- 4 z^{2}$ et $3 z^{2}$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} + 4 z - 12 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.7

Soustrayez $12 z$ de $4 z$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + (6 z + 6 \cdot - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.9

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + (6 z - 6) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 z \cdot z - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.11

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.11.1

Déplacez $z$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 (z \cdot z) - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.11.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 z^{2} - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.12

Additionnez $- z^{2}$ et $6 z^{2}$ .

$\frac{z^{3} + 5 z^{2} - 8 z + 12 - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Étape 5.13

Soustrayez $6 z$ de $- 8 z$ .

$\frac{z^{3} + 5 z^{2} - 14 z + 12}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$