Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$ par $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}} \cdot \frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{7}}$ par $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{7}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{(3 \sqrt{5} - \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{9 {\sqrt{5}}^{2} + 3 \sqrt{35} - 3 \sqrt{35} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{5} + \sqrt{7}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5} + \sqrt{7})}{38}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $\sqrt{5} (3 \sqrt{5})$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.1.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 5^{1} + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 + \sqrt{5} \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{15 + \sqrt{5 \cdot 7} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.5

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + \sqrt{7} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.6

Multipliez $\sqrt{7} (3 \sqrt{5})$ .

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Étape 4.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{7 \cdot 5} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{38}$

Étape 4.1.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7 \cdot 7}}{38}$

Étape 4.1.8

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{49}}{38}$

Étape 4.1.9

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + \sqrt{7^{2}}}{38}$

Étape 4.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{15 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35} + 7}{38}$

Étape 4.2

Additionnez $15$ et $7$ .

$\frac{22 + \sqrt{35} + 3 \sqrt{35}}{38}$

Étape 4.3

Additionnez $\sqrt{35}$ et $3 \sqrt{35}$ .

$\frac{22 + 4 \sqrt{35}}{38}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $22 + 4 \sqrt{35}$ et $38$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$\frac{2 (11) + 4 \sqrt{35}}{38}$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (11) + 2 (2 \sqrt{35})}{38}$

Étape 5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (11) + 2 (2 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{38}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $38$ .

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{2 \cdot 19}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (11 + 2 \sqrt{35})}{2 \cdot 19}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 + 2 \sqrt{35}}{19}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{11 + 2 \sqrt{35}}{19}$

Forme décimale :

$1.20169260 \dots$