Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} + \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} + \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} - \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} - \sqrt{5}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} + \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{(\sqrt{22} + \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{{\sqrt{22}}^{2} - \sqrt{110} + \sqrt{110} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{17}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{22} - \sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{1} (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{17}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{22} - \sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{1} {(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{1}}{17}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{1 + 1}}{17}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{2}}{17}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{2}$ comme $(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})$ .

$\frac{(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{17}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{22} (\sqrt{22} - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{17}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{22} + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{17}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{22} + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{22 \cdot 22} + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Étape 6.1.2

Multipliez $22$ par $22$ .

$\frac{\sqrt{484} + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $484$ comme $22^{2}$ .

$\frac{\sqrt{22^{2}} + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{22 + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Étape 6.1.5

Multipliez $\sqrt{22} (- \sqrt{5})$ .

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Étape 6.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{22 - \sqrt{22 \cdot 5} - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $22$ par $5$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- \sqrt{5} \sqrt{22}$ .

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Étape 6.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{22 \cdot 5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Étape 6.1.6.2

Multipliez $22$ par $5$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Étape 6.1.7

Multipliez $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Étape 6.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5}}{17}$

Étape 6.1.7.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{17}$

Étape 6.1.7.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{17}$

Étape 6.1.7.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{17}$

Étape 6.1.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{17}$

Étape 6.1.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + {\sqrt{5}}^{2}}{17}$

Étape 6.1.8

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{17}$

Étape 6.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{17}$

Étape 6.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 5^{\frac{2}{2}}}{17}$

Étape 6.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 5^{\frac{2}{2}}}{17}$

Étape 6.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 5^{1}}{17}$

Étape 6.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 5}{17}$

Étape 6.2

Additionnez $22$ et $5$ .

$\frac{27 - \sqrt{110} - \sqrt{110}}{17}$

Étape 6.3

Soustrayez $\sqrt{110}$ de $- \sqrt{110}$ .

$\frac{27 - 2 \sqrt{110}}{17}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{27 - 2 \sqrt{110}}{17}$

Forme décimale :

$0.35434253 \dots$