Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ par $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ par $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.4

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.5

Développez $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} - 1) + 1 (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.6.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - 1 \cdot \sqrt{2} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.6.4

Réécrivez $- 1 \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.6.5

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.6.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.7

Multipliez $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - (\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}})$

Étape 1.8

Multipliez $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

Étape 1.9

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.11

Développez $(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - 1 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.12.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.12.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.12.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2 \cdot 3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.12.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.12.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{5}$ comme $- \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.12.6

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - (\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} - - \sqrt{5} - - \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $- - \sqrt{5}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{5} - - \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{5} - - \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{5} + 1 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Soustrayez $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{2} - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- (\sqrt{2}) - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (\sqrt{2}) - 1 (1) - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (\sqrt{2} + 1) - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{10}$ .

$\frac{- (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{10}) + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{10})$ .

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10}) + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{5}$ .

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10}) - 1 (- \sqrt{5}) + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10}) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5}) + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5}) - (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5}) - (- 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.13.1

Réécrivez $- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})$ comme $- 1 (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$0.06183918 \dots$