Mathématiques de base Exemples

$\frac{z^{2} + 14 z + 49}{z - 3} \div \frac{z^{2} + 13 z + 42}{z^{2} + 11 z + 30}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{z^{2} + 14 z + 49}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{z^{2} + 14 z + 7^{2}}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$14 z = 2 \cdot z \cdot 7$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{z^{2} + 2 \cdot z \cdot 7 + 7^{2}}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = z$ et $b = 7$ .

$\frac{{(z + 7)}^{2}}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Étape 3

Factorisez $z^{2} + 11 z + 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $30$ et dont la somme est $11$ .

$5, 6$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(z + 7)}^{2}}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{z^{2} + 13 z + 42}$

Étape 4

Factorisez $z^{2} + 13 z + 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $42$ et dont la somme est $13$ .

$6, 7$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(z + 7)}^{2}}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 6) (z + 7)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $z + 7$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $z + 7$ à partir de ${(z + 7)}^{2}$ .

$\frac{(z + 7) (z + 7)}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 6) (z + 7)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $z + 7$ à partir de $(z + 6) (z + 7)$ .

$\frac{(z + 7) (z + 7)}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 7) (z + 6)}$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z + 7) (z + 7)}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 7) (z + 6)}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{z + 7}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{z + 6}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{z + 7}{z - 3}$ par $\frac{(z + 5) (z + 6)}{z + 6}$ .

$\frac{(z + 7) ((z + 5) (z + 6))}{(z - 3) (z + 6)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $z + 6$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z + 7) ((z + 5) (z + 6))}{(z - 3) (z + 6)}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(z + 7) (z + 5)}{z - 3}$