Mathématiques de base Exemples

$\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 1

Pour écrire $\frac{1}{n^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{n^{2}}{n^{2}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{n^{2}} + 1$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $n^{2} {(n + 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{n^{2}}$ par $\frac{{(n + 1)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{n^{2}} + 1$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ par $\frac{n^{2}}{n^{2}}$ .

$\frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{n^{2}}{{(n + 1)}^{2} n^{2}} + 1$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de ${(n + 1)}^{2} n^{2}$ .

$\frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(n + 1)}^{2} + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez ${(n + 1)}^{2}$ comme $(n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{(n + 1) (n + 1) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 5.2

Développez $(n + 1) (n + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n (n + 1) + 1 (n + 1) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$\frac{n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$\frac{n^{2} + n + n + 1 \cdot 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{n^{2} + n + n + 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 5.3.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$\frac{n^{2} + 2 n + 1 + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 5.4

Additionnez $n^{2}$ et $n^{2}$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + 1$

Étape 6

Associez en une fraction.

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Étape 6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} + \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} {(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Réécrivez ${(n + 1)}^{2}$ comme $(n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} ((n + 1) (n + 1))}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Développez $(n + 1) (n + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n (n + 1) + 1 (n + 1))}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1))}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.3.1.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n + n + 1 \cdot 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + n + n + 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.3.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} (n^{2} + 2 n + 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} n^{2} + n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Multipliez $n^{2}$ par $n^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{2 + 2} + n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.3

Multipliez $n^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{2} n + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.6

Multipliez $n^{2}$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.6.1

Déplacez $n$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 (n \cdot n^{2}) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.6.2

Multipliez $n$ par $n^{2}$ .

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Étape 7.6.2.1

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 (n^{1} n^{2}) + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{1 + 2} + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{3} + n^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.7

Additionnez $2 n^{2}$ et $n^{2}$ .

$\frac{3 n^{2} + 2 n + 1 + n^{4} + 2 n^{3}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$

Étape 7.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{n^{4} + 2 n^{3} + 3 n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} {(n + 1)}^{2}}$