Mathématiques de base Exemples

$\frac{1}{i^{3} {(2 - i)}^{2}}$

Étape 1

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{1}{i^{2} \cdot i {(2 - i)}^{2}}$

Étape 2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot i {(2 - i)}^{2}}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{1}{- i {(2 - i)}^{2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 3.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- i {(2 - i)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{i {(2 - i)}^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez ${(2 - i)}^{2}$ comme $(2 - i) (2 - i)$ .

$- \frac{1}{i ((2 - i) (2 - i))}$

Étape 4

Développez $(2 - i) (2 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{i (2 (2 - i) - i (2 - i))}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{i (2 \cdot 2 + 2 (- i) - i (2 - i))}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{i (2 \cdot 2 + 2 (- i) - i \cdot 2 - i (- i))}$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{i (4 + 2 (- i) - i \cdot 2 - i (- i))}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{i (4 - 2 i - i \cdot 2 - i (- i))}$

Étape 5.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{i (4 - 2 i - 2 i - i (- i))}$

Étape 5.1.4

Multipliez $- i (- i)$ .

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{i (4 - 2 i - 2 i + 1 i i)}$

Étape 5.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{i (4 - 2 i - 2 i + 1 (i^{1} i))}$

Étape 5.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{i (4 - 2 i - 2 i + 1 (i^{1} i^{1}))}$

Étape 5.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{i (4 - 2 i - 2 i + 1 i^{1 + 1})}$

Étape 5.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{i (4 - 2 i - 2 i + 1 i^{2})}$

Étape 5.1.4.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{i (4 - 2 i - 2 i + i^{2})}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- \frac{1}{i (4 - 2 i - 2 i - 1)}$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$- \frac{1}{i (3 - 2 i - 2 i)}$

Étape 5.3

Soustrayez $2 i$ de $- 2 i$ .

$- \frac{1}{i (3 - 4 i)}$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{i \cdot 3 + i (- 4 i)}$

Étape 7

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$- \frac{1}{3 \cdot i + i (- 4 i)}$

Étape 8

Multipliez $i (- 4 i)$ .

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Étape 8.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{3 \cdot i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 8.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{3 \cdot i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{3 \cdot i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{3 \cdot i - 4 i^{2}}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- \frac{1}{3 i - 4 \cdot - 1}$

Étape 9.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{3 i + 4}$

Étape 10

Remettez dans l’ordre $3 i$ et $4$ .

$- \frac{1}{4 + 3 i}$

Étape 11

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{4 + 3 i}$ par le conjugué de $4 + 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$- (\frac{1}{4 + 3 i} \cdot \frac{4 - 3 i}{4 - 3 i})$

Étape 12

Multipliez.

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Étape 12.1

Associez.

$- \frac{1 (4 - 3 i)}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)}$

Étape 12.2

Multipliez $4 - 3 i$ par $1$ .

$- \frac{4 - 3 i}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)}$

Étape 12.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.3.1

Développez $(4 + 3 i) (4 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4 - 3 i}{4 (4 - 3 i) + 3 i (4 - 3 i)}$

Étape 12.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4 - 3 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) + 3 i (4 - 3 i)}$

Étape 12.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4 - 3 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 12.3.2

Simplifiez

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Étape 12.3.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 + 4 (- 3 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 12.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 - 12 i + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 12.3.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 - 12 i + 12 i + 3 i (- 3 i)}$

Étape 12.3.2.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 i i}$

Étape 12.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 12.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 12.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 - 3 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 12.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 i^{2}}$

Étape 12.3.2.9

Additionnez $- 12 i$ et $12 i$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 12.3.2.10

Additionnez $16$ et $0$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 - 9 i^{2}}$

Étape 12.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 - 9 \cdot - 1}$

Étape 12.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$- \frac{4 - 3 i}{16 + 9}$

Étape 12.3.4

Additionnez $16$ et $9$ .

$- \frac{4 - 3 i}{25}$

Étape 13

Divisez la fraction $\frac{4 - 3 i}{25}$ en deux fractions.

$- (\frac{4}{25} + \frac{- 3 i}{25})$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{4}{25} - \frac{3 i}{25})$

Étape 15

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4}{25} - - \frac{3 i}{25}$

Étape 16

Multipliez $- - \frac{3 i}{25}$ .

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Étape 16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{4}{25} + 1 \frac{3 i}{25}$

Étape 16.2

Multipliez $\frac{3 i}{25}$ par $1$ .

$- \frac{4}{25} + \frac{3 i}{25}$