Mathématiques de base Exemples

$\frac{1 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}$

Étape 1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.6.5

Évaluez l’exposant.

$(2 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.2

Multipliez $- \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3

Multipliez $\sqrt{3} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.3.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Étape 8.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 9.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} - \frac{2^{1}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 9.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2} - \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} - \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} - 1 \cdot 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 9.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{2} - 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 10

Pour écrire $\sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} - 1$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} - 1$

Étape 11.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{6}}{2} - 1$

Étape 12

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} - 1$

Étape 13

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 14

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 15

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6} - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 15.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6} - 2}{2}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6} - 2}{2}$

Forme décimale :

$1.63895843 \dots$