Mathématiques de base Exemples

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \div \frac{z^{2} + z + 1}{2 z^{2} + 9 z + 4}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{z^{3} - 1^{3}}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = z$ et $b = 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $z$ par $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- z$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - (z) - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + (1 - 2) z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + 1 z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 3.1.4

Multipliez $z$ par $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z^{2} + z) - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{z (2 z + 1) - (2 z + 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 z + 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $z^{2} + z + 1$ .

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Étape 4.1

Factorisez $z^{2} + z + 1$ à partir de $(z - 1) (z^{2} + z + 1)$ .

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $z - 1$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 z + 1} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{2 z + 1}$ par $2 z^{2} + 9 z + 4$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{2 z + 1}$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 z$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 (z) + 4}{2 z + 1}$

Étape 7.1.2

Réécrivez $9$ comme $1$ plus $8$

$\frac{2 z^{2} + (1 + 8) z + 4}{2 z + 1}$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 z^{2} + 1 z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Étape 7.1.4

Multipliez $z$ par $1$ .

$\frac{2 z^{2} + z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 z^{2} + z) + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{z (2 z + 1) + 4 (2 z + 1)}{2 z + 1}$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 z + 1$ .

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $2 z + 1$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Étape 8.2

Divisez $z + 4$ par $1$ .

$z + 4$