Mathématiques de base Exemples

$\frac{z^{2} - 81}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2} - 9 z}{z^{2} + z - 90}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 9^{2}}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2} - 9 z}{z^{2} + z - 90}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = 9$ .

$\frac{(z + 9) (z - 9)}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2} - 9 z}{z^{2} + z - 90}$

Étape 2

Factorisez $z$ à partir de $z^{2} - 9 z$ .

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Étape 2.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2}$ .

$\frac{(z + 9) (z - 9)}{z^{2}} \cdot \frac{z \cdot z - 9 z}{z^{2} + z - 90}$

Étape 2.2

Factorisez $z$ à partir de $- 9 z$ .

$\frac{(z + 9) (z - 9)}{z^{2}} \cdot \frac{z \cdot z + z \cdot - 9}{z^{2} + z - 90}$

Étape 2.3

Factorisez $z$ à partir de $z \cdot z + z \cdot - 9$ .

$\frac{(z + 9) (z - 9)}{z^{2}} \cdot \frac{z (z - 9)}{z^{2} + z - 90}$

Étape 3

Factorisez $z^{2} + z - 90$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 90$ et dont la somme est $1$ .

$- 9, 10$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(z + 9) (z - 9)}{z^{2}} \cdot \frac{z (z - 9)}{(z - 9) (z + 10)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{(z + 9) (z - 9) (z (z - 9))}{z^{2} ((z - 9) (z + 10))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $z - 9$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z + 9) (z - 9) (z (z - 9))}{z^{2} ((z - 9) (z + 10))}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(z + 9) (z (z - 9))}{z^{2} (z + 10)}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $z$ et $z^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $z$ à partir de $(z + 9) (z (z - 9))$ .

$\frac{z ((z + 9) (z - 9))}{z^{2} (z + 10)}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2} (z + 10)$ .

$\frac{z ((z + 9) (z - 9))}{z (z (z + 10))}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{z ((z + 9) (z - 9))}{z (z (z + 10))}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(z + 9) (z - 9)}{z (z + 10)}$