Mathématiques de base Exemples

$\frac{z^{2} + z}{2 z + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2} + z$ .

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Étape 1.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2}$ .

$\frac{z \cdot z + z}{2 z + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 1.2

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{z \cdot z + z^{1}}{2 z + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 1.3

Factorisez $z$ à partir de $z^{1}$ .

$\frac{z \cdot z + z \cdot 1}{2 z + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 1.4

Factorisez $z$ à partir de $z \cdot z + z \cdot 1$ .

$\frac{z (z + 1)}{2 z + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 2

Factorisez $2$ à partir de $2 z + 2$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 z$ .

$\frac{z (z + 1)}{2 (z) + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{z (z + 1)}{2 (z) + 2 (1)} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (z) + 2 (1)$ .

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 40 = 120$ et dont la somme est $b = 23$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $23$ à partir de $23 z$ .

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 (z) + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $23$ comme $8$ plus $15$

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{3 z^{2} + (8 + 15) z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{3 z^{2} + 8 z + 15 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z^{2} + 8 z) + 15 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{z (3 z + 8) + 5 (3 z + 8)}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 z + 8$ .

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z + 8) (z + 5)}{z^{2} + 6 z + 5}$

Étape 4

Factorisez $z^{2} + 6 z + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z + 8) (z + 5)}{(z + 1) (z + 5)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $z + 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $z + 1$ à partir de $z (z + 1)$ .

$\frac{(z + 1) z}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z + 8) (z + 5)}{(z + 1) (z + 5)}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z + 1) z}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z + 8) (z + 5)}{(z + 1) (z + 5)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{z}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z + 8) (z + 5)}{z + 5}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{z}{2 (z + 1)}$ par $\frac{(3 z + 8) (z + 5)}{z + 5}$ .

$\frac{z ((3 z + 8) (z + 5))}{2 (z + 1) (z + 5)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $z + 5$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z ((3 z + 8) (z + 5))}{2 (z + 1) (z + 5)}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{z (3 z + 8)}{2 (z + 1)}$