Mathématiques de base Exemples

$\frac{n^{2} + n - 20}{n^{2} + 2 n} - 15$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $n^{2} + n - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(n - 4) (n + 5)}{n^{2} + 2 n} - 15$

Étape 1.2

Factorisez $n$ à partir de $n^{2} + 2 n$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $n$ à partir de $n^{2}$ .

$\frac{(n - 4) (n + 5)}{n \cdot n + 2 n} - 15$

Étape 1.2.2

Factorisez $n$ à partir de $2 n$ .

$\frac{(n - 4) (n + 5)}{n \cdot n + n \cdot 2} - 15$

Étape 1.2.3

Factorisez $n$ à partir de $n \cdot n + n \cdot 2$ .

$\frac{(n - 4) (n + 5)}{n (n + 2)} - 15$

Étape 2

Pour écrire $- 15$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{n (n + 2)}{n (n + 2)}$ .

$\frac{(n - 4) (n + 5)}{n (n + 2)} - 15 \cdot \frac{n (n + 2)}{n (n + 2)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $- 15$ et $\frac{n (n + 2)}{n (n + 2)}$ .

$\frac{(n - 4) (n + 5)}{n (n + 2)} + \frac{- 15 (n (n + 2))}{n (n + 2)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(n - 4) (n + 5) - 15 (n (n + 2))}{n (n + 2)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(n - 4) (n + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n (n + 5) - 4 (n + 5) - 15 n (n + 2)}{n (n + 2)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n \cdot n + n \cdot 5 - 4 (n + 5) - 15 n (n + 2)}{n (n + 2)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n \cdot n + n \cdot 5 - 4 n - 4 \cdot 5 - 15 n (n + 2)}{n (n + 2)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{n^{2} + n \cdot 5 - 4 n - 4 \cdot 5 - 15 n (n + 2)}{n (n + 2)}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $n$ .

$\frac{n^{2} + 5 \cdot n - 4 n - 4 \cdot 5 - 15 n (n + 2)}{n (n + 2)}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$\frac{n^{2} + 5 n - 4 n - 20 - 15 n (n + 2)}{n (n + 2)}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $4 n$ de $5 n$ .

$\frac{n^{2} + n - 20 - 15 n (n + 2)}{n (n + 2)}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n^{2} + n - 20 - 15 n \cdot n - 15 n \cdot 2}{n (n + 2)}$

Étape 4.4

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $n$ .

$\frac{n^{2} + n - 20 - 15 (n \cdot n) - 15 n \cdot 2}{n (n + 2)}$

Étape 4.4.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{n^{2} + n - 20 - 15 n^{2} - 15 n \cdot 2}{n (n + 2)}$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$\frac{n^{2} + n - 20 - 15 n^{2} - 30 n}{n (n + 2)}$

Étape 4.6

Soustrayez $15 n^{2}$ de $n^{2}$ .

$\frac{- 14 n^{2} + n - 20 - 30 n}{n (n + 2)}$

Étape 4.7

Soustrayez $30 n$ de $n$ .

$\frac{- 14 n^{2} - 29 n - 20}{n (n + 2)}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 14 n^{2}$ .

$\frac{- (14 n^{2}) - 29 n - 20}{n (n + 2)}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 29 n$ .

$\frac{- (14 n^{2}) - (29 n) - 20}{n (n + 2)}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (14 n^{2}) - (29 n)$ .

$\frac{- (14 n^{2} + 29 n) - 20}{n (n + 2)}$

Étape 5.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$\frac{- (14 n^{2} + 29 n) - 1 (20)}{n (n + 2)}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (14 n^{2} + 29 n) - 1 (20)$ .

$\frac{- (14 n^{2} + 29 n + 20)}{n (n + 2)}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $- (14 n^{2} + 29 n + 20)$ comme $- 1 (14 n^{2} + 29 n + 20)$ .

$\frac{- 1 (14 n^{2} + 29 n + 20)}{n (n + 2)}$

Étape 5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{14 n^{2} + 29 n + 20}{n (n + 2)}$