Mathématiques de base Exemples

$\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \div \frac{m - n}{4 m^{2} - 9 n^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = n$ et $b = m$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $4 m^{2}$ comme ${(2 m)}^{2}$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Étape 3.2

Réécrivez $9 n^{2}$ comme ${(3 n)}^{2}$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - {(3 n)}^{2}}{m - n}$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 m$ et $b = 3 n$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - (3 n))}{m - n}$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)}{m - n}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2 m - 3 n$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2 m - 3 n$ à partir de $(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$(n + m) (n - m) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 5

Développez $(n + m) (n - m)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(n (n - m) + m (n - m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(n \cdot n + n (- m) + m (n - m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(n \cdot n + n (- m) + m n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez les termes opposés dans $n \cdot n + n (- m) + m n + m (- m)$ .

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Étape 6.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $n (- m)$ et $m n$ .

$(n \cdot n - m n + m n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 6.1.2

Additionnez $- m n$ et $m n$ .

$(n \cdot n + 0 + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 6.1.3

Additionnez $n \cdot n$ et $0$ .

$(n \cdot n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$(n^{2} + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 6.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(n^{2} - m \cdot m) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 6.2.3

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.3.1

Déplacez $m$ .

$(n^{2} - (m \cdot m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$(n^{2} - m^{2}) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Étape 6.3

Multipliez $n^{2} - m^{2}$ par $\frac{2 m + 3 n}{m - n}$ .

$\frac{(n^{2} - m^{2}) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = n$ et $b = m$ .

$\frac{(n + m) (n - m) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun à $n - m$ et $m - n$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $n$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n) - m) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Étape 8.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- m$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n) - (m)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Étape 8.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- n) - (m)$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n + m)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Étape 8.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(n + m) (- 1 (m - n)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Étape 8.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(n + m) (- 1 (m - n)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Étape 8.1.6

Divisez $((n + m) \cdot (- 1)) (2 m + 3 n)$ par $1$ .

$((n + m) \cdot (- 1)) (2 m + 3 n)$

Étape 8.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(n \cdot - 1 + m \cdot - 1) (2 m + 3 n)$

Étape 8.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 8.2.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $n$ .

$(- 1 \cdot n + m \cdot - 1) (2 m + 3 n)$

Étape 8.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $m$ .

$(- 1 \cdot n - 1 \cdot m) (2 m + 3 n)$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$(- n - 1 \cdot m) (2 m + 3 n)$

Étape 8.3.2

Réécrivez $- 1 m$ comme $- m$ .

$(- n - m) (2 m + 3 n)$

Étape 9

Développez $(- n - m) (2 m + 3 n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- n (2 m + 3 n) - m (2 m + 3 n)$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$- n (2 m) - n (3 n) - m (2 m + 3 n)$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$- n (2 m) - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Étape 10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 \cdot 2 n m - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 n m - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Étape 10.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 n m - 1 \cdot 3 n \cdot n - m (2 m) - m (3 n)$

Étape 10.1.4

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.4.1

Déplacez $n$ .

$- 2 n m - 1 \cdot 3 (n \cdot n) - m (2 m) - m (3 n)$

Étape 10.1.4.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$- 2 n m - 1 \cdot 3 n^{2} - m (2 m) - m (3 n)$

Étape 10.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - m (2 m) - m (3 n)$

Étape 10.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 m \cdot m - m (3 n)$

Étape 10.1.7

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.7.1

Déplacez $m$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 (m \cdot m) - m (3 n)$

Étape 10.1.7.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 m^{2} - m (3 n)$

Étape 10.1.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - m (3 n)$

Étape 10.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - 1 \cdot 3 m n$

Étape 10.1.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - 3 m n$

Étape 10.2

Soustrayez $3 m n$ de $- 2 n m$ .

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Étape 10.2.1

Déplacez $n$ .

$- 3 n^{2} - 2 m^{2} - 2 m n - 3 m n$

Étape 10.2.2

Soustrayez $3 m n$ de $- 2 m n$ .

$- 3 n^{2} - 2 m^{2} - 5 m n$

Étape 11

Déplacez $- 3 n^{2}$ .

$- 2 m^{2} - 5 m n - 3 n^{2}$