Mathématiques de base Exemples

$\frac{k^{2} - k}{k^{2} - 1} \div \frac{k + 1}{k^{2} + 2 k + 1}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{k^{2} - k}{k^{2} - 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Étape 2

Factorisez $k$ à partir de $k^{2} - k$ .

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Étape 2.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{2}$ .

$\frac{k \cdot k - k}{k^{2} - 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Étape 2.2

Factorisez $k$ à partir de $- k$ .

$\frac{k \cdot k + k \cdot - 1}{k^{2} - 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Étape 2.3

Factorisez $k$ à partir de $k \cdot k + k \cdot - 1$ .

$\frac{k (k - 1)}{k^{2} - 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{k (k - 1)}{k^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = k$ et $b = 1$ .

$\frac{k (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $k - 1$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{k (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1^{2}}{k + 1}$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 k = 2 \cdot k \cdot 1$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 \cdot k \cdot 1 + 1^{2}}{k + 1}$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = k$ et $b = 1$ .

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{{(k + 1)}^{2}}{k + 1}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $k + 1$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $k + 1$ à partir de ${(k + 1)}^{2}$ .

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{(k + 1) (k + 1)}{k + 1}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{(k + 1) (k + 1)}{k + 1}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$k \frac{k + 1}{k + 1}$

Étape 6.2

Associez $k$ et $\frac{k + 1}{k + 1}$ .

$\frac{k (k + 1)}{k + 1}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $k + 1$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{k (k + 1)}{k + 1}$

Étape 6.3.2

Divisez $k$ par $1$ .

$k$