Mathématiques de base Exemples

$\frac{k^{2} - 2 k - 35}{k^{2} + 8 + 15} \cdot \frac{k^{3} - 9 k}{k^{3} - 27}$

Étape 1

Factorisez $k^{2} - 2 k - 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 35$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 7, 5$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 8 + 15} \cdot \frac{k^{3} - 9 k}{k^{3} - 27}$

Étape 2

Additionnez $8$ et $15$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k^{3} - 9 k}{k^{3} - 27}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{3} - 9 k$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $k$ à partir de $k^{3}$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k \cdot k^{2} - 9 k}{k^{3} - 27}$

Étape 3.1.2

Factorisez $k$ à partir de $- 9 k$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k \cdot - 9}{k^{3} - 27}$

Étape 3.1.3

Factorisez $k$ à partir de $k \cdot k^{2} + k \cdot - 9$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k^{2} - 9)}{k^{3} - 27}$

Étape 3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k^{2} - 3^{2})}{k^{3} - 27}$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = k$ et $b = 3$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{k^{3} - 27}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{k^{3} - 3^{3}}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = k$ et $b = 3$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + k \cdot 3 + 3^{2})}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $k$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + 3 \cdot k + 3^{2})}$

Étape 4.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + 3 k + 9)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $k - 3$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3) (k - 3)}{(k - 3) (k^{2} + 3 k + 9)}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23} \cdot \frac{k (k + 3)}{k^{2} + 3 k + 9}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{(k - 7) (k + 5)}{k^{2} + 23}$ par $\frac{k (k + 3)}{k^{2} + 3 k + 9}$ .

$\frac{(k - 7) (k + 5) (k (k + 3))}{(k^{2} + 23) (k^{2} + 3 k + 9)}$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(k - 7) (k + 5) k (k + 3)}{(k^{2} + 23) (k^{2} + 3 k + 9)}$ .

$\frac{k (k - 7) (k + 5) (k + 3)}{(k^{2} + 23) (k^{2} + 3 k + 9)}$