Mathématiques de base Exemples

$\frac{q^{2} + 2 q r - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \div \frac{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{q^{2} + 2 q r - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot - 3 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 2.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{q^{2} - 3 r^{2} + 2 q r}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 3 r^{2}$ et $2 q r$ .

$\frac{q^{2} + 2 q r - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 q r$ .

$\frac{q^{2} + 2 (q r) - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 2.1.1.4

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$\frac{q^{2} + (- 1 + 3) (q r) - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 2.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{q^{2} - 1 (q r) + 3 (q r) - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 2.1.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{q^{2} - 1 q r + 3 q r - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(q^{2} - 1 q r) + 3 q r - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{q (q - 1 r) + 3 r (q - r)}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $q - 1 r$ .

$\frac{(q - 1 r) (q + 3 r)}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $- 1 r$ comme $- r$ .

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 3.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} + 5 r^{2} - 6 q r} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $5 r^{2}$ et $- 6 q r$ .

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 q r$ .

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} - 6 (q r) + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 3.1.1.4

Réécrivez $- 6$ comme $- 1$ plus $- 5$

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} + (- 1 - 5) (q r) + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 3.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} - 1 (q r) - 5 (q r) + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 3.1.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} - 1 q r - 5 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{(q^{2} - 1 q r) - 5 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q (q - 1 r) - 5 r (q - r)} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $q - 1 r$ .

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{(q - 1 r) (q - 5 r)} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 3.2

Réécrivez $- 1 r$ comme $- r$ .

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{(q - r) (q - 5 r)} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $q - r$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{(q - r) (q - 5 r)} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot - 45 = - 45$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 5.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} - 45 r^{2} + 4 q r}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 5.1.2

Remettez dans l’ordre $- 45 r^{2}$ et $4 q r$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 q r$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} + 4 (q r) - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $4$ comme $- 5$ plus $9$

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} + (- 5 + 9) (q r) - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} - 5 (q r) + 9 (q r) - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 5.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} - 5 q r + 9 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q^{2} - 5 q r) + 9 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q (q - 5 r) + 9 r (q - 5 r)}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $q - 5 r$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot 3 = 3$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 6.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + 3 r^{2} + 4 q r}$

Étape 6.1.2

Remettez dans l’ordre $3 r^{2}$ et $4 q r$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Étape 6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 q r$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + 4 (q r) + 3 r^{2}}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $4$ comme $1$ plus $3$

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + (1 + 3) (q r) + 3 r^{2}}$

Étape 6.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + 1 (q r) + 3 (q r) + 3 r^{2}}$

Étape 6.1.6

Multipliez $q r$ par $1$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + q r + 3 (q r) + 3 r^{2}}$

Étape 6.1.7

Déplacez les parenthèses.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + q r + 3 q r + 3 r^{2}}$

Étape 6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{(q^{2} + q r) + 3 q r + 3 r^{2}}$

Étape 6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q (q + r) + 3 r (q + r)}$

Étape 6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $q + r$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{(q + r) (q + 3 r)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $q + 3 r$ .

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Étape 7.1

Factorisez $q + 3 r$ à partir de $(q + r) (q + 3 r)$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{(q + 3 r) (q + r)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{(q + 3 r) (q + r)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q + r}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $q - 5 r$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q + r}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{q + 9 r}{q + r}$