Mathématiques de base Exemples

$\frac{p^{2} - 6 p + 9}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{p^{2} - 6 p + 3^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 p = 2 \cdot p \cdot 3$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{p^{2} - 2 \cdot p \cdot 3 + 3^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = p$ et $b = 3$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} - 7 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 22 = - 44$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 p$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} - 7 (p) - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $4$ plus $- 11$

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} + (4 - 11) p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p^{2} + 4 p - 11 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(2 p^{2} + 4 p) - 11 p - 22} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{2 p (p + 2) - 11 (p + 2)} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $p + 2$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{p^{2} - 6 p - 16}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 3

Factorisez $p^{2} - 6 p - 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 8, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} - 8 p - 3}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 p$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} - 8 (p) - 3}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $1$ plus $- 9$

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + (1 - 9) p - 3}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + 1 p - 9 p - 3}$

Étape 4.1.4

Multipliez $p$ par $1$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{3 p^{2} + p - 9 p - 3}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{(3 p^{2} + p) - 9 p - 3}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{p (3 p + 1) - 3 (3 p + 1)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 p + 1$ .

$\frac{{(p - 3)}^{2}}{(p + 2) (2 p - 11)} \cdot \frac{(p - 8) (p + 2)}{(3 p + 1) (p - 3)}$

Étape 5

Associez.

$\frac{{(p - 3)}^{2} ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à ${(p - 3)}^{2}$ et $p - 3$ .

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Étape 6.1

Factorisez $p - 3$ à partir de ${(p - 3)}^{2} ((p - 8) (p + 2))$ .

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $p - 3$ à partir de $(p + 2) (2 p - 11) ((3 p + 1) (p - 3))$ .

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p - 3) ((p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1))}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p - 3) ((p - 3) ((p - 8) (p + 2)))}{(p - 3) ((p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1))}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(p - 3) ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $p + 2$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p - 3) ((p - 8) (p + 2))}{(p + 2) (2 p - 11) (3 p + 1)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(p - 3) (p - 8)}{(2 p - 11) (3 p + 1)}$