Mathématiques de base Exemples

$\frac{p^{2} - 4}{3 p^{2} + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{p^{2} - 2^{2}}{3 p^{2} + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = p$ et $b = 2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p^{2} + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Étape 2

Factorisez $3 p$ à partir de $3 p^{2} + 3 p w$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3 p$ à partir de $3 p^{2}$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p) + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Étape 2.2

Factorisez $3 p$ à partir de $3 p w$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p) + 3 p (w)} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Étape 2.3

Factorisez $3 p$ à partir de $3 p (p) + 3 p (w)$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p^{2} + 6 p) + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Étape 3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{p (p + 6) + w (p + 6)}{p^{2} + 8 p + 12}$

Étape 3.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $p + 6$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{p^{2} + 8 p + 12}$

Étape 4

Factorisez $p^{2} + 8 p + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $8$ .

$2, 6$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{(p + 2) (p + 6)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $p + 2$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{(p + 2) (p + 6)}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p - 2}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{p + 6}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $p + w$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $p + w$ à partir de $3 p (p + w)$ .

$\frac{p - 2}{(p + w) (3 p)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{p + 6}$

Étape 5.2.2

Factorisez $p + w$ à partir de $(p + 6) (p + w)$ .

$\frac{p - 2}{(p + w) (3 p)} \cdot \frac{(p + w) (p + 6)}{p + 6}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{p - 2}{(p + w) (3 p)} \cdot \frac{(p + w) (p + 6)}{p + 6}$

Étape 5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{p - 2}{3 p} \cdot \frac{p + 6}{p + 6}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{p - 2}{3 p}$ par $\frac{p + 6}{p + 6}$ .

$\frac{(p - 2) (p + 6)}{3 p (p + 6)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $p + 6$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p - 2) (p + 6)}{3 p (p + 6)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p - 2}{3 p}$