Mathématiques de base Exemples

$\frac{p^{2} - 2 p - 15}{p^{2} - 25} \cdot \frac{p^{2} + 4 p - 5}{5 p - 5}$

Étape 1

Factorisez $p^{2} - 2 p - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{p^{2} - 25} \cdot \frac{p^{2} + 4 p - 5}{5 p - 5}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{p^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{p^{2} + 4 p - 5}{5 p - 5}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = p$ et $b = 5$ .

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{(p + 5) (p - 5)} \cdot \frac{p^{2} + 4 p - 5}{5 p - 5}$

Étape 3

Factorisez $p^{2} + 4 p - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{(p + 5) (p - 5)} \cdot \frac{(p - 1) (p + 5)}{5 p - 5}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 p - 5$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 p$ .

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{(p + 5) (p - 5)} \cdot \frac{(p - 1) (p + 5)}{5 (p) - 5}$

Étape 4.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{(p + 5) (p - 5)} \cdot \frac{(p - 1) (p + 5)}{5 (p) + 5 (- 1)}$

Étape 4.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (p) + 5 (- 1)$ .

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{(p + 5) (p - 5)} \cdot \frac{(p - 1) (p + 5)}{5 (p - 1)}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $p + 5$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $p + 5$ à partir de $(p - 1) (p + 5)$ .

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{(p + 5) (p - 5)} \cdot \frac{(p + 5) (p - 1)}{5 (p - 1)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{(p + 5) (p - 5)} \cdot \frac{(p + 5) (p - 1)}{5 (p - 1)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(p - 5) (p + 3)}{p - 5} \cdot \frac{p - 1}{5 (p - 1)}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{(p - 5) (p + 3)}{p - 5}$ par $\frac{p - 1}{5 (p - 1)}$ .

$\frac{(p - 5) (p + 3) (p - 1)}{(p - 5) (5 (p - 1))}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $p - 5$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p - 5) (p + 3) (p - 1)}{(p - 5) (5 (p - 1))}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(p + 3) (p - 1)}{5 (p - 1)}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $p - 1$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p + 3) (p - 1)}{5 (p - 1)}$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p + 3}{5}$