Mathématiques de base Exemples

$\frac{u^{2} - y^{2}}{2 u^{2} + 2 u y + u + y} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = u$ et $b = y$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{2 u^{2} + 2 u y + u + y} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(2 u^{2} + 2 u y) + u + y} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(u + y) (u - y)}{2 u (u + y) + 1 (u + y)} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u + y$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 u$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 (u) - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $1$ plus $- 12$

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{2 u^{2} + (1 - 12) u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{2 u^{2} + 1 u - 12 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 3.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{2 u^{2} + u - 12 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{(2 u^{2} + u) - 12 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{u (2 u + 1) - 6 (2 u + 1)}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{(y u - 6 y) - u^{2} + 6 u}$

Étape 4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{y (u - 6) - u (u - 6)}$

Étape 4.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 6$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{(u - 6) (y - u)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $2 u + 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2 u + 1$ à partir de $(u + y) (2 u + 1)$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{(2 u + 1) (u + y)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{(u - 6) (y - u)}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(2 u + 1) (u + y)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{(u - 6) (y - u)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(u + y) (u - y)}{u + y} \cdot \frac{u - 6}{(u - 6) (y - u)}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{(u + y) (u - y)}{u + y}$ par $\frac{u - 6}{(u - 6) (y - u)}$ .

$\frac{(u + y) (u - y) (u - 6)}{(u + y) ((u - 6) (y - u))}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $u + y$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(u + y) (u - y) (u - 6)}{(u + y) ((u - 6) (y - u))}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(u - y) (u - 6)}{(u - 6) (y - u)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $u - 6$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(u - y) (u - 6)}{(u - 6) (y - u)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{u - y}{y - u}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à $u - y$ et $y - u$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $u$ .

$\frac{- 1 (- u) - y}{y - u}$

Étape 5.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{- 1 (- u) - (y)}{y - u}$

Étape 5.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- u) - (y)$ .

$\frac{- 1 (- u + y)}{y - u}$

Étape 5.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- u + y)}{- u + y}$

Étape 5.5.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- u + y)}{- u + y}$

Étape 5.5.6

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$