Mathématiques de base Exemples

$\frac{y^{2} - 4}{y^{2} - 7 y + 12} - \frac{2}{y - 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2^{2}}{y^{2} - 7 y + 12} - \frac{2}{y - 4}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 2$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{y^{2} - 7 y + 12} - \frac{2}{y - 4}$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2} - 7 y + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 4, - 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y - 4) (y - 3)} - \frac{2}{y - 4}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{2}{y - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y - 4) (y - 3)} - \frac{2}{y - 4} \cdot \frac{y - 3}{y - 3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2}{y - 4}$ par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{(y + 2) (y - 2)}{(y - 4) (y - 3)} - \frac{2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(y + 2) (y - 2) - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(y + 2) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (y - 2) + 2 (y - 2) - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 4.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y \cdot - 2$ et $2 y$ .

$\frac{y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$\frac{y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4.2.3

Additionnez $y \cdot y$ et $0$ .

$\frac{y \cdot y + 2 \cdot - 2 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} + 2 \cdot - 2 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 4 - 2 (y - 3)}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 4 - 2 y - 2 \cdot - 3}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4.5

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 4 - 2 y + 6}{(y - 4) (y - 3)}$

Étape 4.6

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 2}{(y - 4) (y - 3)}$