Mathématiques de base Exemples

$\frac{y^{2} + y - 12}{y^{2} - y - 20} \cdot \frac{y^{2} + y - 30}{y^{2} - 2 y} - 3$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y^{2} + y - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y - 3) (y + 4)}{y^{2} - y - 20} \cdot \frac{y^{2} + y - 30}{y^{2} - 2 y} - 3$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2} - y - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y - 3) (y + 4)}{(y - 5) (y + 4)} \cdot \frac{y^{2} + y - 30}{y^{2} - 2 y} - 3$

Étape 1.3

Factorisez $y^{2} + y - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $1$ .

$- 5, 6$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y - 3) (y + 4)}{(y - 5) (y + 4)} \cdot \frac{(y - 5) (y + 6)}{y^{2} - 2 y} - 3$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - 2 y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{(y - 3) (y + 4)}{(y - 5) (y + 4)} \cdot \frac{(y - 5) (y + 6)}{y \cdot y - 2 y} - 3$

Étape 1.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{(y - 3) (y + 4)}{(y - 5) (y + 4)} \cdot \frac{(y - 5) (y + 6)}{y \cdot y + y \cdot - 2} - 3$

Étape 1.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot - 2$ .

$\frac{(y - 3) (y + 4)}{(y - 5) (y + 4)} \cdot \frac{(y - 5) (y + 6)}{y (y - 2)} - 3$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $y - 5$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 3) (y + 4)}{(y - 5) (y + 4)} \cdot \frac{(y - 5) (y + 6)}{y (y - 2)} - 3$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 3) (y + 4)}{y + 4} \cdot \frac{y + 6}{y (y - 2)} - 3$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{(y - 3) (y + 4)}{y + 4}$ par $\frac{y + 6}{y (y - 2)}$ .

$\frac{(y - 3) (y + 4) (y + 6)}{(y + 4) (y (y - 2))} - 3$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $y + 4$ .

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Étape 1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 3) (y + 4) (y + 6)}{(y + 4) (y (y - 2))} - 3$

Étape 1.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 3) (y + 6)}{y (y - 2)} - 3$

Étape 2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y (y - 2)}{y (y - 2)}$ .

$\frac{(y - 3) (y + 6)}{y (y - 2)} - 3 \cdot \frac{y (y - 2)}{y (y - 2)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $- 3$ et $\frac{y (y - 2)}{y (y - 2)}$ .

$\frac{(y - 3) (y + 6)}{y (y - 2)} + \frac{- 3 (y (y - 2))}{y (y - 2)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(y - 3) (y + 6) - 3 (y (y - 2))}{y (y - 2)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(y - 3) (y + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (y + 6) - 3 (y + 6) - 3 y (y - 2)}{y (y - 2)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 6 - 3 (y + 6) - 3 y (y - 2)}{y (y - 2)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 6 - 3 y - 3 \cdot 6 - 3 y (y - 2)}{y (y - 2)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 6 - 3 y - 3 \cdot 6 - 3 y (y - 2)}{y (y - 2)}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $y$ .

$\frac{y^{2} + 6 \cdot y - 3 y - 3 \cdot 6 - 3 y (y - 2)}{y (y - 2)}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$\frac{y^{2} + 6 y - 3 y - 18 - 3 y (y - 2)}{y (y - 2)}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3 y$ de $6 y$ .

$\frac{y^{2} + 3 y - 18 - 3 y (y - 2)}{y (y - 2)}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} + 3 y - 18 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 2}{y (y - 2)}$

Étape 4.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{2} + 3 y - 18 - 3 (y \cdot y) - 3 y \cdot - 2}{y (y - 2)}$

Étape 4.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} + 3 y - 18 - 3 y^{2} - 3 y \cdot - 2}{y (y - 2)}$

Étape 4.5

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{y^{2} + 3 y - 18 - 3 y^{2} + 6 y}{y (y - 2)}$

Étape 4.6

Soustrayez $3 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2} + 3 y - 18 + 6 y}{y (y - 2)}$

Étape 4.7

Additionnez $3 y$ et $6 y$ .

$\frac{- 2 y^{2} + 9 y - 18}{y (y - 2)}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{- (2 y^{2}) + 9 y - 18}{y (y - 2)}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $9 y$ .

$\frac{- (2 y^{2}) - (- 9 y) - 18}{y (y - 2)}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y^{2}) - (- 9 y)$ .

$\frac{- (2 y^{2} - 9 y) - 18}{y (y - 2)}$

Étape 5.4

Réécrivez $- 18$ comme $- 1 (18)$ .

$\frac{- (2 y^{2} - 9 y) - 1 (18)}{y (y - 2)}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y^{2} - 9 y) - 1 (18)$ .

$\frac{- (2 y^{2} - 9 y + 18)}{y (y - 2)}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $- (2 y^{2} - 9 y + 18)$ comme $- 1 (2 y^{2} - 9 y + 18)$ .

$\frac{- 1 (2 y^{2} - 9 y + 18)}{y (y - 2)}$

Étape 5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 y^{2} - 9 y + 18}{y (y - 2)}$