Mathématiques de base Exemples

$\frac{8}{t^{2} - 2 t - 3} + \frac{4}{t^{2} - 8 t + 15}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $t^{2} - 2 t - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{8}{(t - 3) (t + 1)} + \frac{4}{t^{2} - 8 t + 15}$

Étape 1.2

Factorisez $t^{2} - 8 t + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{8}{(t - 3) (t + 1)} + \frac{4}{(t - 5) (t - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{8}{(t - 3) (t + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t - 5}{t - 5}$ .

$\frac{8}{(t - 3) (t + 1)} \cdot \frac{t - 5}{t - 5} + \frac{4}{(t - 5) (t - 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{4}{(t - 5) (t - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{8}{(t - 3) (t + 1)} \cdot \frac{t - 5}{t - 5} + \frac{4}{(t - 5) (t - 3)} \cdot \frac{t + 1}{t + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(t - 3) (t + 1) (t - 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{8}{(t - 3) (t + 1)}$ par $\frac{t - 5}{t - 5}$ .

$\frac{8 (t - 5)}{(t - 3) (t + 1) (t - 5)} + \frac{4}{(t - 5) (t - 3)} \cdot \frac{t + 1}{t + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{4}{(t - 5) (t - 3)}$ par $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{8 (t - 5)}{(t - 3) (t + 1) (t - 5)} + \frac{4 (t + 1)}{(t - 5) (t - 3) (t + 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(t - 3) (t + 1) (t - 5)$ .

$\frac{8 (t - 5)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)} + \frac{4 (t + 1)}{(t - 5) (t - 3) (t + 1)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(t - 5) (t - 3) (t + 1)$ .

$\frac{8 (t - 5)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)} + \frac{4 (t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 (t - 5) + 4 (t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $4$ à partir de $8 (t - 5) + 4 (t + 1)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 (t - 5)$ .

$\frac{4 (2 (t - 5)) + 4 (t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 (t - 5)) + 4 (t + 1)$ .

$\frac{4 (2 (t - 5) + t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 t + 2 \cdot - 5 + t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{4 (2 t - 10 + t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 6.4

Additionnez $2 t$ et $t$ .

$\frac{4 (3 t - 10 + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 6.5

Additionnez $- 10$ et $1$ .

$\frac{4 (3 t - 9)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 6.6

Factorisez $3$ à partir de $3 t - 9$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t$ .

$\frac{4 (3 (t) - 9)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 6.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{4 (3 t + 3 \cdot - 3)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 6.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 t + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{4 (3 (t - 3))}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

$\frac{4 \cdot 3 (t - 3)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 6.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 (t - 3)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $t - 3$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (t - 3)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{(t + 1) (t - 5)}$