Mathématiques de base Exemples

$\frac{8 v + 2}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 v + 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 v$ .

$\frac{2 (4 v) + 2}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (4 v) + 2 (1)}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 v) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 v^{2} - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 v^{2} - 3 v - 18$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 v^{2}$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2}) - 3 v - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 v$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2}) + 3 (- v) - 18} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 18$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2}) + 3 (- v) + 3 (- 6)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (v^{2}) + 3 (- v)$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2} - v) + 3 (- 6)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (v^{2} - v) + 3 (- 6)$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v^{2} - v - 6)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1.2.2

Factorisez $v^{2} - v - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 1.2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 ((v - 3) (v + 2))} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{9}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $9$ et $3 v^{2} - 12 v + 9$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 v^{2} - 12 v + 9}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 v^{2}$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2}) - 12 v + 9}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 v$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2}) + 3 (- 4 v) + 9}$

Étape 1.3.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (v^{2}) + 3 (- 4 v)$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v) + 9}$

Étape 1.3.2.4

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v) + 3 (3)}$

Étape 1.3.2.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (v^{2} - 4 v) + 3 (3)$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v + 3)}$

Étape 1.3.2.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3 \cdot 3}{3 (v^{2} - 4 v + 3)}$

Étape 1.3.2.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3}{v^{2} - 4 v + 3}$

Étape 1.4

Factorisez $v^{2} - 4 v + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{v - 1}{v - 1}$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} \cdot \frac{v - 1}{v - 1} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$ .

$\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)} \cdot \frac{v - 1}{v - 1} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)} \cdot \frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 (4 v + 1)}{3 (v - 3) (v + 2)}$ par $\frac{v - 1}{v - 1}$ .

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)} + \frac{3}{(v - 3) (v - 1)} \cdot \frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{(v - 3) (v - 1)}$ par $\frac{3 (v + 2)}{3 (v + 2)}$ .

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)} + \frac{3 (3 (v + 2))}{(v - 3) (v - 1) (3 (v + 2))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $3 (v - 3) (v + 2) (v - 1)$ .

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)} + \frac{3 (3 (v + 2))}{(v - 3) (v - 1) (3 (v + 2))}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(v - 3) (v - 1) (3 (v + 2))$ .

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)} + \frac{3 (3 (v + 2))}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (4 v + 1) (v - 1) + 3 (3 (v + 2))}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (4 v) + 2 \cdot 1) (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{(8 v + 2 \cdot 1) (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(8 v + 2) (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.4

Développez $(8 v + 2) (v - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 v (v - 1) + 2 (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 v \cdot v + 8 v \cdot - 1 + 2 (v - 1) + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 v \cdot v + 8 v \cdot - 1 + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1.1

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1.1.1

Déplacez $v$ .

$\frac{8 (v \cdot v) + 8 v \cdot - 1 + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.5.1.1.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$\frac{8 v^{2} + 8 v \cdot - 1 + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{8 v^{2} - 8 v + 2 v + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.5.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{8 v^{2} - 8 v + 2 v - 2 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.5.2

Additionnez $- 8 v$ et $2 v$ .

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 3 \cdot 3 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 9 (v + 2)}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 9 v + 9 \cdot 2}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.8

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{8 v^{2} - 6 v - 2 + 9 v + 18}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.9

Additionnez $- 6 v$ et $9 v$ .

$\frac{8 v^{2} + 3 v - 2 + 18}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$

Étape 6.10

Additionnez $- 2$ et $18$ .

$\frac{8 v^{2} + 3 v + 16}{3 (v + 2) (v - 1) (v - 3)}$