Mathématiques de base Exemples

$\frac{8 a}{a^{2} - 3 a - 4} - \frac{32}{a^{2} \cdot (3 a) - 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $a^{2} - 3 a - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{a^{2} \cdot (3 a) - 4}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{3 a^{2} a - 4}$

Étape 1.2.2

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{3 (a \cdot a^{2}) - 4}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $a$ par $a^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{3 (a^{1} a^{2}) - 4}$

Étape 1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{3 a^{1 + 2} - 4}$

Étape 1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} - \frac{32}{3 a^{3} - 4}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 a^{3} - 4}{3 a^{3} - 4}$ .

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} \cdot \frac{3 a^{3} - 4}{3 a^{3} - 4} - \frac{32}{3 a^{3} - 4}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{32}{3 a^{3} - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(a - 4) (a + 1)}{(a - 4) (a + 1)}$ .

$\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)} \cdot \frac{3 a^{3} - 4}{3 a^{3} - 4} - \frac{32}{3 a^{3} - 4} \cdot \frac{(a - 4) (a + 1)}{(a - 4) (a + 1)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - 4) (a + 1) (3 a^{3} - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{8 a}{(a - 4) (a + 1)}$ par $\frac{3 a^{3} - 4}{3 a^{3} - 4}$ .

$\frac{8 a (3 a^{3} - 4)}{(a - 4) (a + 1) (3 a^{3} - 4)} - \frac{32}{3 a^{3} - 4} \cdot \frac{(a - 4) (a + 1)}{(a - 4) (a + 1)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{32}{3 a^{3} - 4}$ par $\frac{(a - 4) (a + 1)}{(a - 4) (a + 1)}$ .

$\frac{8 a (3 a^{3} - 4)}{(a - 4) (a + 1) (3 a^{3} - 4)} - \frac{32 ((a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) ((a - 4) (a + 1))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a - 4) (a + 1) (3 a^{3} - 4)$ .

$\frac{8 a (3 a^{3} - 4)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)} - \frac{32 ((a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) ((a - 4) (a + 1))}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(3 a^{3} - 4) ((a - 4) (a + 1))$ .

$\frac{8 a (3 a^{3} - 4)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)} - \frac{32 ((a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 a (3 a^{3} - 4) - 32 ((a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $8$ à partir de $8 a (3 a^{3} - 4) - 32 (a - 4) (a + 1)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 a (3 a^{3} - 4)$ .

$\frac{8 (a (3 a^{3} - 4)) - 32 (a - 4) (a + 1)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $8$ à partir de $- 32 (a - 4) (a + 1)$ .

$\frac{8 (a (3 a^{3} - 4)) + 8 (- 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (a (3 a^{3} - 4)) + 8 (- 4 (a - 4) (a + 1))$ .

$\frac{8 (a (3 a^{3} - 4) - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (a (3 a^{3}) + a \cdot - 4 - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 (3 a \cdot a^{3} + a \cdot - 4 - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.4

Déplacez $- 4$ à gauche de $a$ .

$\frac{8 (3 a \cdot a^{3} - 4 \cdot a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.5

Multipliez $a$ par $a^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $a^{3}$ .

$\frac{8 (3 (a^{3} a) - 4 \cdot a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.5.2

Multipliez $a^{3}$ par $a$ .

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Étape 6.5.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 (3 (a^{3} a^{1}) - 4 \cdot a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 (3 a^{3 + 1} - 4 \cdot a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 \cdot a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 (a - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a + (- 4 a - 4 \cdot - 4) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.7

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a + (- 4 a + 16) (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.8

Développez $(- 4 a + 16) (a + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a (a + 1) + 16 (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a \cdot a - 4 a \cdot 1 + 16 (a + 1))}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a \cdot a - 4 a \cdot 1 + 16 a + 16 \cdot 1)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.9.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.9.1.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 (a \cdot a) - 4 a \cdot 1 + 16 a + 16 \cdot 1)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.9.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a^{2} - 4 a \cdot 1 + 16 a + 16 \cdot 1)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.9.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a^{2} - 4 a + 16 a + 16 \cdot 1)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.9.1.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a^{2} - 4 a + 16 a + 16)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.9.2

Additionnez $- 4 a$ et $16 a$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a - 4 a^{2} + 12 a + 16)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$

Étape 6.10

Additionnez $- 4 a$ et $12 a$ .

$\frac{8 (3 a^{4} - 4 a^{2} + 8 a + 16)}{(3 a^{3} - 4) (a + 1) (a - 4)}$