Mathématiques de base Exemples

$\frac{a}{1 - a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{a}{1^{2} - a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = a$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a}{(1 + a) (1 - a)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}}$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} \cdot \frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{a}{1 + a^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} \cdot \frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}} \cdot \frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{a}{(1 + a) (1 - a)}$ par $\frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}}$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})} + \frac{a}{1 + a^{2}} \cdot \frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{a}{1 + a^{2}}$ par $\frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a (1 + a^{2}) + a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $a$ à partir de $a (1 + a^{2}) + a ((1 + a) (1 - a))$ .

$\frac{a (1 + a^{2} + (1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 6.2

Laissez $u = 1$ . Remplacez toutes les occurrences de $1$ par $u$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{a (u + u^{2} + 0)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $u + u^{2}$ et $0$ .

$\frac{a (u + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 6.3

Factorisez $u$ à partir de $u + u^{2}$ .

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Étape 6.3.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{a (u^{1} + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 6.3.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$\frac{a (u \cdot 1 + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 6.3.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$\frac{a (u \cdot 1 + u \cdot u)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 6.3.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 1 + u \cdot u$ .

$\frac{a (u (1 + u))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 6.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1$ .

$\frac{a (1 (1 + 1))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a (1 \cdot 2)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{a \cdot 2}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Étape 7

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$\frac{2 a}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$