Mathématiques de base Exemples

$\frac{a}{a^{2} - 36} + \frac{a - 10}{a^{2} - 2 a - 24}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{a}{a^{2} - 6^{2}} + \frac{a - 10}{a^{2} - 2 a - 24}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 6$ .

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a - 10}{a^{2} - 2 a - 24}$

Étape 1.2

Factorisez $a^{2} - 2 a - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 6, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a}{(a + 6) (a - 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 6}{a + 6}$ .

$\frac{a}{(a + 6) (a - 6)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)} \cdot \frac{a + 6}{a + 6}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + 6) (a - 6) (a + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{a}{(a + 6) (a - 6)}$ par $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 6) (a - 6) (a + 4)} + \frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)} \cdot \frac{a + 6}{a + 6}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{a - 10}{(a - 6) (a + 4)}$ par $\frac{a + 6}{a + 6}$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 6) (a - 6) (a + 4)} + \frac{(a - 10) (a + 6)}{(a - 6) (a + 4) (a + 6)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a + 6) (a - 6) (a + 4)$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)} + \frac{(a - 10) (a + 6)}{(a - 6) (a + 4) (a + 6)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(a - 6) (a + 4) (a + 6)$ .

$\frac{a (a + 4)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)} + \frac{(a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a (a + 4) + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 4 + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 4 + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.3

Déplacez $4$ à gauche de $a$ .

$\frac{a^{2} + 4 \cdot a + (a - 10) (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.4

Développez $(a - 10) (a + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + 4 a + a (a + 6) - 10 (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + 4 a + a \cdot a + a \cdot 6 - 10 (a + 6)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + 4 a + a \cdot a + a \cdot 6 - 10 a - 10 \cdot 6}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} + a \cdot 6 - 10 a - 10 \cdot 6}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.5.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $a$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} + 6 \cdot a - 10 a - 10 \cdot 6}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.5.1.3

Multipliez $- 10$ par $6$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} + 6 a - 10 a - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.5.2

Soustrayez $10 a$ de $6 a$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + a^{2} - 4 a - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.6

Additionnez $a^{2}$ et $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} + 4 a - 4 a - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.7

Soustrayez $4 a$ de $4 a$ .

$\frac{2 a^{2} + 0 - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.8

Additionnez $2 a^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 a^{2} - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.9

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{2} - 60$ .

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Étape 6.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{2}$ .

$\frac{2 (a^{2}) - 60}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.9.2

Factorisez $2$ à partir de $- 60$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 \cdot - 30}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$

Étape 6.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{2} + 2 \cdot - 30$ .

$\frac{2 (a^{2} - 30)}{(a + 4) (a + 6) (a - 6)}$