Mathématiques de base Exemples

$\frac{a}{a^{2} - 16} - \frac{3}{a^{2} + 5 a + 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{a}{a^{2} - 4^{2}} - \frac{3}{a^{2} + 5 a + 4}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 4$ .

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} - \frac{3}{a^{2} + 5 a + 4}$

Étape 1.2

Factorisez $a^{2} + 5 a + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a}{(a + 4) (a - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{a}{(a + 4) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + 4) (a - 4) (a + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{a}{(a + 4) (a - 4)}$ par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a (a + 1)}{(a + 4) (a - 4) (a + 1)} - \frac{3}{(a + 1) (a + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{(a + 1) (a + 4)}$ par $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{a (a + 1)}{(a + 4) (a - 4) (a + 1)} - \frac{3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a + 4) (a - 4) (a + 1)$ .

$\frac{a (a + 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)} - \frac{3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a (a + 1) - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 1 - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Étape 6.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 1 - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Étape 6.3

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a^{2} + a - 3 (a - 4)}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + a - 3 a - 3 \cdot - 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$\frac{a^{2} + a - 3 a + 12}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$

Étape 6.6

Soustrayez $3 a$ de $a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a + 12}{(a + 1) (a + 4) (a - 4)}$