Mathématiques de base Exemples

$\frac{a (3 a + b) (2 a - 9 b) a}{b \cdot b \cdot (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{1} a (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b \cdot b \cdot (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 1.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{1} a^{1} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b \cdot b \cdot (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{1 + 1} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b \cdot b \cdot (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b \cdot b \cdot (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{1} \cdot b (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{1} \cdot b^{1} (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{1 + 1} (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{2} (b (a + 5 b))} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $b^{2}$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b \cdot b^{2} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $b$ par $b^{2}$ .

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Étape 2.5.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{1} b^{2} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{1 + 2} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 2.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 a b - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 3

Factorisez $5 b$ à partir de $5 a b - 20 b^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5 b$ à partir de $5 a b$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a) - 20 b^{2}}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 3.2

Factorisez $5 b$ à partir de $- 20 b^{2}$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a) + 5 b (- 4 b)}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $5 b$ à partir de $5 b (a) + 5 b (- 4 b)$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot 20 = 20$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 4.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} + 20 b^{2} - 9 a b}$

Étape 4.1.2

Remettez dans l’ordre $20 b^{2}$ et $- 9 a b$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}}$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 a b$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} - 9 (a b) + 20 b^{2}}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 9$ comme $- 4$ plus $- 5$

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} + (- 4 - 5) (a b) + 20 b^{2}}$

Étape 4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} - 4 (a b) - 5 (a b) + 20 b^{2}}$

Étape 4.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a^{2} - 4 a b - 5 a b + 20 b^{2}}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{(a^{2} - 4 a b) - 5 a b + 20 b^{2}}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{a (a - 4 b) - 5 b (a - 4 b)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $a - 4 b$ .

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{3} (a + 5 b)} \cdot \frac{5 b (a - 4 b)}{(a - 4 b) (a - 5 b)}$

Étape 5

Associez.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 b (a - 4 b))}{b^{3} (a + 5 b) ((a - 4 b) (a - 5 b))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $b$ et $b^{3}$ .

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Étape 6.1

Factorisez $b$ à partir de $a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 b (a - 4 b))$ .

$\frac{b (a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 (a - 4 b)))}{b^{3} (a + 5 b) ((a - 4 b) (a - 5 b))}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $b$ à partir de $b^{3} (a + 5 b) ((a - 4 b) (a - 5 b))$ .

$\frac{b (a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 (a - 4 b)))}{b ((b^{2} (a + 5 b)) ((a - 4 b) (a - 5 b)))}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{b (a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 (a - 4 b)))}{b ((b^{2} (a + 5 b)) ((a - 4 b) (a - 5 b)))}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 (a - 4 b))}{(b^{2} (a + 5 b)) ((a - 4 b) (a - 5 b))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $a - 4 b$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) (5 (a - 4 b))}{b^{2} (a + 5 b) ((a - 4 b) (a - 5 b))}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b) \cdot (5)}{(b^{2} (a + 5 b)) (a - 5 b)}$

Étape 8

Déplacez $5$ à gauche de $a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)$ .

$\frac{5 a^{2} (3 a + b) (2 a - 9 b)}{b^{2} (a + 5 b) (a - 5 b)}$