Mathématiques de base Exemples

$\frac{9 y}{y^{2} - 12 + 36} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 36}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Additionnez $- 12$ et $36$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 36}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 6^{2}}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 y = 2 \cdot y \cdot 6$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 6$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{9 y}{y^{2} + 24}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} \cdot \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} \cdot \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{9 y}{y^{2} + 24}$ par $\frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$ par $\frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}} - \frac{54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)} - \frac{54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2} - 54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y {(y - 6)}^{2} - 54 (y^{2} + 24)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y {(y - 6)}^{2}$ .

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2}) - 54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 54 (y^{2} + 24)$ .

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2}) + 9 (- 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (y {(y - 6)}^{2}) + 9 (- 6 (y^{2} + 24))$ .

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2} - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.2

Réécrivez ${(y - 6)}^{2}$ comme $(y - 6) (y - 6)$ .

$\frac{9 (y ((y - 6) (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.3

Développez $(y - 6) (y - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (y (y (y - 6) - 6 (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (y (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (y (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.4.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 6 \cdot y - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 6 y - 6 y + 36) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.4.2

Soustrayez $6 y$ de $- 6 y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 12 y + 36) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (y \cdot y^{2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 6.6.1.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 (y^{1} y^{2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.6.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 (y^{1 + 2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.6.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{9 (y^{3} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 (y^{3} - 12 y \cdot y + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.6.3

Déplacez $36$ à gauche de $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y \cdot y + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.7

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1

Déplacez $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 (y \cdot y) + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.7.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 y^{2} - 6 \cdot 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.9

Multipliez $- 6$ par $24$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 y^{2} - 144)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Étape 6.10

Soustrayez $6 y^{2}$ de $- 12 y^{2}$ .

$\frac{9 (y^{3} - 18 y^{2} + 36 y - 144)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$