Mathématiques de base Exemples

$\frac{9 + i}{i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{9 + i}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{9 + i}{i} \cdot \frac{i}{i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{(9 + i) i}{i i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 i + i i}{i i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $i i$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 i + i^{1} i}{i i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.2.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 i + i^{1} i^{1}}{i i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 i + i^{1 + 1}}{i i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 i + i^{2}}{i i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{9 i - 1}{i i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.2.4

Remettez dans l’ordre $9 i$ et $- 1$ .

$\frac{- 1 + 9 i}{i i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 + 9 i}{i^{1} i} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 + 9 i}{i^{1} i^{1}} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 + 9 i}{i^{1 + 1}} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 + 9 i}{i^{2}} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.2.3.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 1 + 9 i}{- 1} - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 1 + 9 i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 + 9 i) - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (- 1 + 9 i)$ comme $- (- 1 + 9 i)$ .

$- (- 1 + 9 i) - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- - 1 - (9 i) - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - (9 i) - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.7

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 5 i}{2 + i})}^{2}$

Étape 1.8

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{5 - 5 i}{2 + 1 i}$ par le conjugué de $2 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 5 i}{2 + 1 i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i})}^{2}$

Étape 1.9

Multipliez.

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Étape 1.9.1

Associez.

$1 - 9 i - {(\frac{(5 - 5 i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.2.1

Développez $(5 - 5 i) (2 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.9.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 9 i - {(\frac{5 (2 - i) - 5 i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 9 i - {(\frac{5 \cdot 2 + 5 (- i) - 5 i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 9 i - {(\frac{5 \cdot 2 + 5 (- i) - 5 i \cdot 2 - 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$1 - 9 i - {(\frac{10 + 5 (- i) - 5 i \cdot 2 - 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$1 - 9 i - {(\frac{10 - 5 i - 5 i \cdot 2 - 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$1 - 9 i - {(\frac{10 - 5 i - 10 i - 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.1.4

Multipliez $- 5 i (- i)$ .

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Étape 1.9.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$1 - 9 i - {(\frac{10 - 5 i - 10 i + 5 i i}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{10 - 5 i - 10 i + 5 (i^{1} i)}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{10 - 5 i - 10 i + 5 (i^{1} i^{1})}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - 9 i - {(\frac{10 - 5 i - 10 i + 5 i^{1 + 1}}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{10 - 5 i - 10 i + 5 i^{2}}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{10 - 5 i - 10 i + 5 \cdot - 1}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.1.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{10 - 5 i - 10 i - 5}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.2

Soustrayez $5$ de $10$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 5 i - 10 i}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.2.2.3

Soustrayez $10 i$ de $- 5 i$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{(2 + 1 i) (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.9.3.1

Développez $(2 + 1 i) (2 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.9.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{2 (2 - i) + 1 i (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i (2 - i)})}^{2}$

Étape 1.9.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)})}^{2}$

Étape 1.9.3.2

Simplifiez

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Étape 1.9.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)})}^{2}$

Étape 1.9.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 - 2 i + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)})}^{2}$

Étape 1.9.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 - 2 i + 2 i + 1 i (- i)})}^{2}$

Étape 1.9.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 - 2 i + 2 i - i i})}^{2}$

Étape 1.9.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i)})}^{2}$

Étape 1.9.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i^{1})})}^{2}$

Étape 1.9.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{1 + 1}})}^{2}$

Étape 1.9.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{2}})}^{2}$

Étape 1.9.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 + 0 - i^{2}})}^{2}$

Étape 1.9.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 - i^{2}})}^{2}$

Étape 1.9.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 - - 1})}^{2}$

Étape 1.9.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{4 + 1})}^{2}$

Étape 1.9.3.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 - 15 i}{5})}^{2}$

Étape 1.10

Annulez le facteur commun à $5 - 15 i$ et $5$ .

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Étape 1.10.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 \cdot 1 - 15 i}{5})}^{2}$

Étape 1.10.2

Factorisez $5$ à partir de $- 15 i$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 \cdot 1 + 5 (- 3 i)}{5})}^{2}$

Étape 1.10.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (1) + 5 (- 3 i)$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 (1 - 3 i)}{5})}^{2}$

Étape 1.10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.10.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$1 - 9 i - {(\frac{5 (1 - 3 i)}{5 (1)})}^{2}$

Étape 1.10.4.2

Annulez le facteur commun.

$1 - 9 i - {(\frac{5 (1 - 3 i)}{5 \cdot 1})}^{2}$

Étape 1.10.4.3

Réécrivez l’expression.

$1 - 9 i - {(\frac{1 - 3 i}{1})}^{2}$

Étape 1.10.4.4

Divisez $1 - 3 i$ par $1$ .

$1 - 9 i - {(1 - 3 i)}^{2}$

Étape 1.11

Réécrivez ${(1 - 3 i)}^{2}$ comme $(1 - 3 i) (1 - 3 i)$ .

$1 - 9 i - ((1 - 3 i) (1 - 3 i))$

Étape 1.12

Développez $(1 - 3 i) (1 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 9 i - (1 (1 - 3 i) - 3 i (1 - 3 i))$

Étape 1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 9 i - (1 \cdot 1 + 1 (- 3 i) - 3 i (1 - 3 i))$

Étape 1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 9 i - (1 \cdot 1 + 1 (- 3 i) - 3 i \cdot 1 - 3 i (- 3 i))$

Étape 1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.13.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 - 9 i - (1 + 1 (- 3 i) - 3 i \cdot 1 - 3 i (- 3 i))$

Étape 1.13.1.2

Multipliez $- 3 i$ par $1$ .

$1 - 9 i - (1 - 3 i - 3 i \cdot 1 - 3 i (- 3 i))$

Étape 1.13.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 9 i - (1 - 3 i - 3 i - 3 i (- 3 i))$

Étape 1.13.1.4

Multipliez $- 3 i (- 3 i)$ .

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Étape 1.13.1.4.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$1 - 9 i - (1 - 3 i - 3 i + 9 i i)$

Étape 1.13.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$1 - 9 i - (1 - 3 i - 3 i + 9 (i^{1} i))$

Étape 1.13.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$1 - 9 i - (1 - 3 i - 3 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Étape 1.13.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - 9 i - (1 - 3 i - 3 i + 9 i^{1 + 1})$

Étape 1.13.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - 9 i - (1 - 3 i - 3 i + 9 i^{2})$

Étape 1.13.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 9 i - (1 - 3 i - 3 i + 9 \cdot - 1)$

Étape 1.13.1.6

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$1 - 9 i - (1 - 3 i - 3 i - 9)$

Étape 1.13.2

Soustrayez $9$ de $1$ .

$1 - 9 i - (- 8 - 3 i - 3 i)$

Étape 1.13.3

Soustrayez $3 i$ de $- 3 i$ .

$1 - 9 i - (- 8 - 6 i)$

Étape 1.14

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 9 i - - 8 - (- 6 i)$

Étape 1.15

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$1 - 9 i + 8 - (- 6 i)$

Étape 1.16

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$1 - 9 i + 8 + 6 i$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Additionnez $1$ et $8$ .

$9 - 9 i + 6 i$

Étape 2.2

Additionnez $- 9 i$ et $6 i$ .

$9 - 3 i$