Mathématiques de base Exemples

$\frac{5}{a^{2} + 2 a + 1} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{5}{a^{2} + 2 a + 1^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

Étape 1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Étape 1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{5}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{8}{a^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5}{{(a + 1)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{5}{{(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - 1) {(a + 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $\frac{5}{{(a + 1)}^{2}}$ par $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{8}{(a + 1) (a - 1)}$ par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{(a + 1) (a - 1) (a + 1)}$

Étape 4.3

Élevez $a + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1} (a + 1) (a - 1)}$

Étape 4.4

Élevez $a + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1} {(a + 1)}^{1} (a - 1)}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1 + 1} (a - 1)}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 (a - 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)} + \frac{8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 (a - 1) + 8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a + 5 \cdot - 1 + 8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{5 a - 5 + 8 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a - 5 + 8 a + 8 \cdot 1}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Étape 6.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{5 a - 5 + 8 a + 8}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Étape 6.5

Additionnez $5 a$ et $8 a$ .

$\frac{13 a - 5 + 8}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$

Étape 6.6

Additionnez $- 5$ et $8$ .

$\frac{13 a + 3}{{(a + 1)}^{2} (a - 1)}$