Mathématiques de base Exemples

$\frac{5}{2 {(y - 1)}^{2}} - \frac{3}{2 y^{2} - 2}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2} - 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{5}{2 {(y - 1)}^{2}} - \frac{3}{2 (y^{2}) - 2}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{5}{2 {(y - 1)}^{2}} - \frac{3}{2 (y^{2}) + 2 (- 1)}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (y^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{5}{2 {(y - 1)}^{2}} - \frac{3}{2 (y^{2} - 1)}$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{5}{2 {(y - 1)}^{2}} - \frac{3}{2 (y^{2} - 1^{2})}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\frac{5}{2 {(y - 1)}^{2}} - \frac{3}{2 (y + 1) (y - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5}{2 {(y - 1)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{5}{2 {(y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} - \frac{3}{2 (y + 1) (y - 1)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3}{2 (y + 1) (y - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{5}{2 {(y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} - \frac{3}{2 (y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (y + 1) {(y - 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{5}{2 {(y - 1)}^{2}}$ par $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{5 (y + 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)} - \frac{3}{2 (y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{2 (y + 1) (y - 1)}$ par $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{5 (y + 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)} - \frac{3 (y - 1)}{2 (y + 1) (y - 1) (y - 1)}$

Étape 4.3

Élevez $y - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 (y + 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)} - \frac{3 (y - 1)}{2 (y + 1) ({(y - 1)}^{1} (y - 1))}$

Étape 4.4

Élevez $y - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 (y + 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)} - \frac{3 (y - 1)}{2 (y + 1) ({(y - 1)}^{1} {(y - 1)}^{1})}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 (y + 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)} - \frac{3 (y - 1)}{2 (y + 1) {(y - 1)}^{1 + 1}}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 (y + 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)} - \frac{3 (y - 1)}{2 (y + 1) {(y - 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Réorganisez les facteurs de $2 (y + 1) {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{5 (y + 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)} - \frac{3 (y - 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 (y + 1) - 3 (y - 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 y + 5 \cdot 1 - 3 (y - 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 y + 5 - 3 (y - 1)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 y + 5 - 3 y - 3 \cdot - 1}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{5 y + 5 - 3 y + 3}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 6.5

Soustrayez $3 y$ de $5 y$ .

$\frac{2 y + 5 + 3}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 6.6

Additionnez $5$ et $3$ .

$\frac{2 y + 8}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 6.7

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 8$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (y) + 8}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 6.7.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 y + 2 \cdot 4}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 6.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 2 \cdot 4$ .

$\frac{2 (y + 4)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y + 4)}{2 {(y - 1)}^{2} (y + 1)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 4}{{(y - 1)}^{2} (y + 1)}$