Mathématiques de base Exemples

$\frac{5}{z - 4} + \frac{4 z}{z - 3}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{5}{z - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z - 3}{z - 3}$ .

$\frac{5}{z - 4} \cdot \frac{z - 3}{z - 3} + \frac{4 z}{z - 3}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{4 z}{z - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z - 4}{z - 4}$ .

$\frac{5}{z - 4} \cdot \frac{z - 3}{z - 3} + \frac{4 z}{z - 3} \cdot \frac{z - 4}{z - 4}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(z - 4) (z - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{5}{z - 4}$ par $\frac{z - 3}{z - 3}$ .

$\frac{5 (z - 3)}{(z - 4) (z - 3)} + \frac{4 z}{z - 3} \cdot \frac{z - 4}{z - 4}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{4 z}{z - 3}$ par $\frac{z - 4}{z - 4}$ .

$\frac{5 (z - 3)}{(z - 4) (z - 3)} + \frac{4 z (z - 4)}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(z - 4) (z - 3)$ .

$\frac{5 (z - 3)}{(z - 3) (z - 4)} + \frac{4 z (z - 4)}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 (z - 3) + 4 z (z - 4)}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 z + 5 \cdot - 3 + 4 z (z - 4)}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.2

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{5 z - 15 + 4 z (z - 4)}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 z - 15 + 4 z \cdot z + 4 z \cdot - 4}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.4

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1

Déplacez $z$ .

$\frac{5 z - 15 + 4 (z \cdot z) + 4 z \cdot - 4}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.4.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{5 z - 15 + 4 z^{2} + 4 z \cdot - 4}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.5

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{5 z - 15 + 4 z^{2} - 16 z}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.6

Soustrayez $16 z$ de $5 z$ .

$\frac{- 11 z - 15 + 4 z^{2}}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 z^{2} - 11 z - 15}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 5.8.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 z$ .

$\frac{4 z^{2} - 11 (z) - 15}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.8.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $4$ plus $- 15$

$\frac{4 z^{2} + (4 - 15) z - 15}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 z^{2} + 4 z - 15 z - 15}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 z^{2} + 4 z) - 15 z - 15}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{4 z (z + 1) - 15 (z + 1)}{(z - 3) (z - 4)}$

Étape 5.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $z + 1$ .

$\frac{(z + 1) (4 z - 15)}{(z - 3) (z - 4)}$