Mathématiques de base Exemples

$\frac{6}{a^{2} + 8 a + 15} + \frac{- 12}{a^{2} + 6 a + 5}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $a^{2} + 8 a + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $8$ .

$3, 5$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6}{(a + 3) (a + 5)} + \frac{- 12}{a^{2} + 6 a + 5}$

Étape 1.2

Factorisez $a^{2} + 6 a + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6}{(a + 3) (a + 5)} + \frac{- 12}{(a + 1) (a + 5)}$

Étape 1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6}{(a + 3) (a + 5)} - \frac{12}{(a + 1) (a + 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{6}{(a + 3) (a + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{6}{(a + 3) (a + 5)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{12}{(a + 1) (a + 5)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{12}{(a + 1) (a + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{6}{(a + 3) (a + 5)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{12}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + 3) (a + 5) (a + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{6}{(a + 3) (a + 5)}$ par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{6 (a + 1)}{(a + 3) (a + 5) (a + 1)} - \frac{12}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{12}{(a + 1) (a + 5)}$ par $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{6 (a + 1)}{(a + 3) (a + 5) (a + 1)} - \frac{12 (a + 3)}{(a + 1) (a + 5) (a + 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a + 3) (a + 5) (a + 1)$ .

$\frac{6 (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)} - \frac{12 (a + 3)}{(a + 1) (a + 5) (a + 3)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(a + 1) (a + 5) (a + 3)$ .

$\frac{6 (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)} - \frac{12 (a + 3)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (a + 1) - 12 (a + 3)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $6$ à partir de $6 (a + 1) - 12 (a + 3)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $6$ à partir de $- 12 (a + 3)$ .

$\frac{6 (a + 1) + 6 (- 2 (a + 3))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $6$ à partir de $6 (a + 1) + 6 (- 2 (a + 3))$ .

$\frac{6 (a + 1 - 2 (a + 3))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (a + 1 - 2 a - 2 \cdot 3)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{6 (a + 1 - 2 a - 6)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 6.4

Soustrayez $2 a$ de $a$ .

$\frac{6 (- a + 1 - 6)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 6.5

Soustrayez $6$ de $1$ .

$\frac{6 (- a - 5)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $- a - 5$ et $a + 5$ .

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{6 (- (a) - 5)}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 7.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{6 (- (a) - 1 (5))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (5)$ .

$\frac{6 (- (a + 5))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 7.4

Réécrivez $- (a + 5)$ comme $- 1 (a + 5)$ .

$\frac{6 (- 1 (a + 5))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- 1 (a + 5))}{(a + 1) (a + 3) (a + 5)}$

Étape 7.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 \cdot (- 1)}{(a + 1) (a + 3)}$

Étape 8

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{- 6}{(a + 1) (a + 3)}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{(a + 1) (a + 3)}$