Mathématiques de base Exemples

$\frac{3}{y^{2} + 3 y} - \frac{1}{y} - \frac{6}{y^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} + 3 y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{3}{y \cdot y + 3 y} - \frac{1}{y} - \frac{6}{y^{2} - 9}$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$\frac{3}{y \cdot y + y \cdot 3} - \frac{1}{y} - \frac{6}{y^{2} - 9}$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot 3$ .

$\frac{3}{y (y + 3)} - \frac{1}{y} - \frac{6}{y^{2} - 9}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3}{y (y + 3)} - \frac{1}{y} - \frac{6}{y^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 3$ .

$\frac{3}{y (y + 3)} - \frac{1}{y} - \frac{6}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{3}{y (y + 3)}$ par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{3}{y (y + 3)} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} - \frac{1}{y} - \frac{6}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{3}{y (y + 3)}$ par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{3 (y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)} - \frac{1}{y} - \frac{6}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{3 (y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)} - (\frac{1}{y} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}) - \frac{6}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{3 (y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)} - \frac{(y + 3) (y - 3)}{y ((y + 3) (y - 3))} - \frac{6}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{6}{(y + 3) (y - 3)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{3 (y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)} - \frac{(y + 3) (y - 3)}{y ((y + 3) (y - 3))} - (\frac{6}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y}{y})$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{6}{(y + 3) (y - 3)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{3 (y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)} - \frac{(y + 3) (y - 3)}{y ((y + 3) (y - 3))} - \frac{6 y}{(y + 3) (y - 3) y}$

Étape 2.7

Réorganisez les facteurs de $y ((y + 3) (y - 3))$ .

$\frac{3 (y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)} - \frac{(y + 3) (y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)} - \frac{6 y}{(y + 3) (y - 3) y}$

Étape 2.8

Réorganisez les facteurs de $(y + 3) (y - 3) y$ .

$\frac{3 (y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)} - \frac{(y + 3) (y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)} - \frac{6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (y - 3) - (y + 3) (y - 3) - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y + 3 \cdot - 3 - (y + 3) (y - 3) - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{3 y - 9 - (y + 3) (y - 3) - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y - 9 + (- y - 1 \cdot 3) (y - 3) - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 y - 9 + (- y - 3) (y - 3) - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.5

Développez $(- y - 3) (y - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y - 9 - y (y - 3) - 3 (y - 3) - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y - 9 - y \cdot y - y \cdot - 3 - 3 (y - 3) - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y - 9 - y \cdot y - y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.1.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.1.1.1

Déplacez $y$ .

$\frac{3 y - 9 - (y \cdot y) - y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.6.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{3 y - 9 - y^{2} - y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{3 y - 9 - y^{2} + 3 y - 3 y - 3 \cdot - 3 - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{3 y - 9 - y^{2} + 3 y - 3 y + 9 - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $3 y$ de $3 y$ .

$\frac{3 y - 9 - y^{2} + 0 + 9 - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.6.3

Additionnez $- y^{2}$ et $0$ .

$\frac{3 y - 9 - y^{2} + 9 - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les termes opposés dans $3 y - 9 - y^{2} + 9 - 6 y$ .

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Étape 5.1.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$\frac{3 y - y^{2} + 0 - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.1.2

Additionnez $3 y - y^{2}$ et $0$ .

$\frac{3 y - y^{2} - 6 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.2

Soustrayez $6 y$ de $3 y$ .

$\frac{- y^{2} - 3 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.3

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} - 3 y$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) - 3 y}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot - 3}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y \cdot - 3$ .

$\frac{y (- y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- y - 3)}{y (y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- y - 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à $- y - 3$ et $y + 3$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{- (y) - 3}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.5.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- (y) - 1 (3)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (3)$ .

$\frac{- (y + 3)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.5.4

Réécrivez $- (y + 3)$ comme $- 1 (y + 3)$ .

$\frac{- 1 (y + 3)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.5.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (y + 3)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.5.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y - 3}$

Étape 5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y - 3}$