Mathématiques de base Exemples

$\frac{3 z^{2} - 7 z - 20}{z + 7} \div \frac{z^{2} + 14 z + 49}{3 z^{2} + 26 z + 35}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{3 z^{2} - 7 z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ et dont la somme est $b = - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 7 (z) - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $5$ plus $- 12$

$\frac{3 z^{2} + (5 - 12) z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 z^{2} + 5 z - 12 z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 z^{2} + 5 z) - 12 z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{z (3 z + 5) - 4 (3 z + 5)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 z + 5$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 35 = 105$ et dont la somme est $b = 26$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Factorisez $26$ à partir de $26 z$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 (z) + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $26$ comme $5$ plus $21$

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + (5 + 21) z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 5 z + 21 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z^{2} + 5 z) + 21 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{z (3 z + 5) + 7 (3 z + 5)}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 z + 5$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{z^{2} + 14 z + 49}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{z^{2} + 14 z + 7^{2}}$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$14 z = 2 \cdot z \cdot 7$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{z^{2} + 2 \cdot z \cdot 7 + 7^{2}}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = z$ et $b = 7$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $z + 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Factorisez $z + 7$ à partir de $(3 z + 5) (z + 7)$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(z + 7) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(z + 7) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$(3 z + 5) (z - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 6

Développez $(3 z + 5) (z - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 z (z - 4) + 5 (z - 4)) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 + 5 (z - 4)) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Déplacez $z$ .

$(3 (z \cdot z) + 3 z \cdot - 4 + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 7.1.1.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$(3 z^{2} + 3 z \cdot - 4 + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$(3 z^{2} - 12 z + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 7.1.3

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$(3 z^{2} - 12 z + 5 z - 20) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 7.2

Additionnez $- 12 z$ et $5 z$ .

$(3 z^{2} - 7 z - 20) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 8

Multipliez $3 z^{2} - 7 z - 20$ par $\frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$ .

$\frac{(3 z^{2} - 7 z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ et dont la somme est $b = - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 z$ .

$\frac{(3 z^{2} - 7 (z) - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 9.1.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $5$ plus $- 12$

$\frac{(3 z^{2} + (5 - 12) z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 9.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 z^{2} + 5 z - 12 z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 9.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{((3 z^{2} + 5 z) - 12 z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 9.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(z (3 z + 5) - 4 (3 z + 5)) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 9.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 z + 5$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 9.2

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Élevez $3 z + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 z + 5)}^{1} (3 z + 5) (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Élevez $3 z + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 z + 5)}^{1} {(3 z + 5)}^{1} (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 9.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(3 z + 5)}^{1 + 1} (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 9.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(3 z + 5)}^{2} (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$