Mathématiques de base Exemples

$\frac{3 t^{3} - 14 t^{2} + 8 t}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $t$ à partir de $3 t^{3} - 14 t^{2} + 8 t$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $t$ à partir de $3 t^{3}$ .

$\frac{t (3 t^{2}) - 14 t^{2} + 8 t}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1.1.2

Factorisez $t$ à partir de $- 14 t^{2}$ .

$\frac{t (3 t^{2}) + t (- 14 t) + 8 t}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1.1.3

Factorisez $t$ à partir de $8 t$ .

$\frac{t (3 t^{2}) + t (- 14 t) + t \cdot 8}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1.1.4

Factorisez $t$ à partir de $t (3 t^{2}) + t (- 14 t)$ .

$\frac{t (3 t^{2} - 14 t) + t \cdot 8}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1.1.5

Factorisez $t$ à partir de $t (3 t^{2} - 14 t) + t \cdot 8$ .

$\frac{t (3 t^{2} - 14 t + 8)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ et dont la somme est $b = - 14$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 t$ .

$\frac{t (3 t^{2} - 14 (t) + 8)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $- 2$ plus $- 12$

$\frac{t (3 t^{2} + (- 2 - 12) t + 8)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t (3 t^{2} - 2 t - 12 t + 8)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{t ((3 t^{2} - 2 t) - 12 t + 8)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{t (t (3 t - 2) - 4 (3 t - 2))}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 t - 2$ .

$\frac{t ((3 t - 2) (t - 4))}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{20 + 3 t - 2 t^{2}} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{- 2 t^{2} + 3 t + 20} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 2 \cdot 20 = - 40$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t$ .

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{- 2 t^{2} + 3 (t) + 20} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $3$ comme $- 5$ plus $8$

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{- 2 t^{2} + (- 5 + 8) t + 20} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{- 2 t^{2} - 5 t + 8 t + 20} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t^{2} - 5 t) + 8 t + 20} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{t (- 2 t - 5) - 4 (- 2 t - 5)} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 t - 5$ .

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 16 \cdot - 15 = - 240$ et dont la somme est $b = 34$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $34$ à partir de $34 t$ .

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{16 t^{2} + 34 (t) - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $34$ comme $- 6$ plus $40$

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{16 t^{2} + (- 6 + 40) t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{16 t^{2} - 6 t + 40 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(16 t^{2} - 6 t) + 40 t - 15}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{2 t (8 t - 3) + 5 (8 t - 3)}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $8 t - 3$ .

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{24 t^{2} - 25 t + 6}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 24 \cdot 6 = 144$ et dont la somme est $b = - 25$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 25$ à partir de $- 25 t$ .

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{24 t^{2} - 25 (t) + 6}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 25$ comme $- 9$ plus $- 16$

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{24 t^{2} + (- 9 - 16) t + 6}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{24 t^{2} - 9 t - 16 t + 6}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{(24 t^{2} - 9 t) - 16 t + 6}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{3 t (8 t - 3) - 2 (8 t - 3)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $8 t - 3$ .

$\frac{t (3 t - 2) (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{(8 t - 3) (3 t - 2)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $3 t - 2$ .

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Étape 5.1

Factorisez $3 t - 2$ à partir de $t (3 t - 2) (t - 4)$ .

$\frac{(3 t - 2) (t (t - 4))}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{(8 t - 3) (3 t - 2)}$

Étape 5.2

Factorisez $3 t - 2$ à partir de $(8 t - 3) (3 t - 2)$ .

$\frac{(3 t - 2) (t (t - 4))}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{(3 t - 2) (8 t - 3)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 t - 2) (t (t - 4))}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{(3 t - 2) (8 t - 3)}$

Étape 5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{t (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)} \cdot \frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{8 t - 3}$

Étape 6

Multipliez $\frac{t (t - 4)}{(- 2 t - 5) (t - 4)}$ par $\frac{(8 t - 3) (2 t + 5)}{8 t - 3}$ .

$\frac{t (t - 4) ((8 t - 3) (2 t + 5))}{(- 2 t - 5) (t - 4) (8 t - 3)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $t - 4$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (t - 4) ((8 t - 3) (2 t + 5))}{(- 2 t - 5) (t - 4) (8 t - 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t ((8 t - 3) (2 t + 5))}{(- 2 t - 5) (8 t - 3)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $8 t - 3$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t ((8 t - 3) (2 t + 5))}{(- 2 t - 5) (8 t - 3)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t (2 t + 5)}{- 2 t - 5}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $2 t + 5$ et $- 2 t - 5$ .

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Étape 9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 t$ .

$\frac{t (- (- 2 t) + 5)}{- 2 t - 5}$

Étape 9.2

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{t (- (- 2 t) - 1 (- 5))}{- 2 t - 5}$

Étape 9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 t) - 1 (- 5)$ .

$\frac{t (- (- 2 t - 5))}{- 2 t - 5}$

Étape 9.4

Réécrivez $- (- 2 t - 5)$ comme $- 1 (- 2 t - 5)$ .

$\frac{t (- 1 (- 2 t - 5))}{- 2 t - 5}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (- 1 (- 2 t - 5))}{- 2 t - 5}$

Étape 9.6

Divisez $t \cdot (- 1)$ par $1$ .

$t \cdot (- 1)$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$- 1 t$

Étape 10.2

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$- t$